От чего зависит мощность электромагнитного поля

Определим работу, производимую электромагнитным полем при перемещении объемного заряда r в элементарном объеме ΔV на расстояние , где: – скорость перемещения заряда:

Здесь – сила Лоренца, как показано в лекции №4. Параметром Q обозначена величина заряда внутри рассматриваемого элементарного объема ΔV. Из выражения (3) следует, что, во-первых, неподвижные заряды не могут производить работу, т.к. и, во-вторых, не совершает работу магнитная компонента поля, поскольку направление силы и направление скорости перемещения заряда взаимно перпендикулярны, поэтому всегда .

Из курса общей физики известно, что мощность связана с работой отношением: р = А/t. Следовательно, мощность, выделяемую в единице объема ΔV (которая называется также удельной мощностью), можно определить как:

Учитывая, что вектор плотности тока проводимости , определим теперь полную мощность, выделяемую в объеме V:

Полученное выражение (5) является известным законом Джоуля-Ленца в интегральной форме, а выражение (4) соответственно законом Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Закон Джоуля-Ленца – физический закон, дающий количественную оценку теплового действия электрического тока. Открыт в 1841 году независимо английским физиком Джеймсом Джоулем и российским физиком немецкого происхождения Эмилем Ленцом.

В словесной формулировке звучит следующим образом – мощность тепла, выделяемого в единице объёма среды при протекании электрического тока, пропорциональна произведению плотности электрического тока на величину электрического поля.

Если плотность тока обусловлена только плотностью током проводимости (как в данном случае), то мощность, определяемая по (5), является мощностью тепловых потерь, выделяемых за счет протекания тока проводимости. Другими словами, речь идет о преобразовании электромагнитной энергии в другие виды энергии.

Если же в рассматриваемой области V действуют сторонние силы, то тогда уравнение (5) с учетом выражения (1) примет вид:

Р_ст – называется мощностью сторонних сил, выделяемой в объеме V, эта мощность характеризует процесс преобразования энергии различных видов (например механической, химической и др.) в электромагнитную энергию;

Р_пот – мощность тепловых потерь, выделяемых за счет протекания тока проводимости.

Баланс энергии электромагнитного поля. Вектор Умова-Пойтинга

В этом вопросе формулируется закон сохранения энергии применительно к электромагнитному полю, дается физический смысл вектора Умова-Пойнтинга.

Выделим некоторый объем V, ограниченный поверхностью S, в котором находятся некие источники ЭМП. Поскольку закон сохранения энергии является фундаментальным законом физики, то очевидно утверждать, что энергия источников поля затрачивается на выделение тепла (или на переход в другие виды энергии), на накопление энергии ЭМП внутри объема V и на переход (излучение) энергии из этого объема в прилегающее к нему пространство, то есть:

где: Р_ст – мощность, выделяемая сторонними источниками; Р_пот – мощность тепловых потерь; Р_зап – мощность, затрачиваемая на накопление энергии ЭМП (запасаемая мощность); Р_пер – мощность, выходящая из рассматриваемого объема.

Определим конкретные значения составляющих выражения (7). Возьмем 1-ое и 2-ое уравнения Максвелла в дифференциальной форме с учетом сторонних сил и помножим 1-ое уравнение на , а 2-ое уравнение на вектор :

Далее вычтем из (8 б) выражение (8 а) в результате получим:

Преобразуем левую часть полученного выражения, используя известное тождество из векторного анализа,

где — произвольные векторы; — обозначает векторное произведение.

В результате получим, что дивергенция скалярного произведения векторов напряженности электрического и магнитного поля равна:

Проинтегрируем данное выражение по объему V, ограниченному замкнутой поверхностью:

Применив к левой части полученного уравнения теорему Остроградского – Гаусса, получим:

Перегруппируем данное выражение, оставив в правой части лишь составляющую, содержащую плотность тока сторонних сил, тогда окончательно:

Полученное уравнение (10) называют теоремой Умова-Пойтинга в интегральной форме. Оно характеризует баланс энергии электромагнитного поля в замкнутом объеме V, ограниченном поверхностью S.

Выясним физический смысл отдельных членов, входящих в выражение (10).

1) Физический смысл интеграла ясен из выражения (6). Он характеризует мощность сторонних сил, которая выделяется в рассматриваемом объеме V.

2) Выражение характеризует мощность тепловых потерь в рассматриваемом объеме V, создаваемых за счет протекания тока проводимости.

3) Для выяснения физического смысла выражения рассмотрим особый случай:

– пусть сторонние источники в объеме V отсутствуют, тогда Р_ст = 0;

– кроме того, пусть граница S непроницаема для электромагнитного поля (т.е. является идеально проводящей), тогда, поскольку поле на границе S отсутствует ( и ), то .

В этом случае, получаем:

Отсюда делаем первый вывод: рассматриваемый интеграл характеризует некую мощность в объеме V. Далее, поскольку область V не сообщается с внешней средой (S — непроницаема), то отсюда следует, что рассматриваемый интеграл будет характеризовать мощность, запасенную в объеме V. Так как в нашем случае эта мощность расходуется на потери (нагрев среды) то, очевидно, запасенная мощность Р_зап должна убывать. Этому как раз и соответствует знак «–».

Из курса общей физики известно, что мощность связана с энергией как , тогда:

Вывод: Рассматриваемый интеграл характеризует скорость изменения электромагнитной энергии, сосредоточенной внутри области V, другими словами мощность, запасенную в этой области. Интеграл характеризует мощность электрического поля, сосредоточенную в объеме V, а интеграл характеризует соответственно мощность магнитного поля, сосредоточенную в этом же объеме.

4) Для выяснения физического смысла интеграла также рассмотрим особый случай:

– пусть отсутствуют потери на нагрев среды, т.е. Р_пот = 0;

– электромагнитная энергия внутри области V остается постоянной, следовательно, dW/dt = 0.

В этом случае получаем:

Отсюда можно сделать первый вывод: рассматриваемый интеграл есть мощность, кроме того, поскольку данный интеграл берется по замкнутой поверхности S, то это мощность, проходящая через поверхность S. Так как потери отсутствуют, а запасенная энергия постоянна в данном объеме (W_зап = const), то мощность сторонних сил расходуется на излучение электромагнитной энергии из рассматриваемого объема V. Следовательно, в данном случае интеграл характеризует мощность излучения Р_изл.

В случае, когда Р_ст = 0 , W = const, получаем: , и в данном случае рассматриваемый интеграл характеризует мощность, которая входит через поверхность S (обратите внимание на знак «–») в объем V и расходуется там в виде потерь.

Вывод: Рассматриваемый интеграл характеризует мощность, которая в зависимости от знака, либо выходит («+»), либо входит («–») через поверхность S, рассматриваемого объема V. Таким образом, этот интеграл характеризует мощность перехода между выделенным объемом и внешним, по отношению к этому объему, пространством.

Векторное произведение составляющих электромагнитного поля называют вектором Умова-Пойнтинга .

Определим единицу измерения вектора Умова-Пойнтинга. Поскольку измеряется в В/м, а — в А/м, то очевидно, что для единицей измерения является В×А/м 2 = Вт/м 2 . Таким образом, вектор Умова-Пойнтинга характеризует мгновенное значение плотности мощности, проходящей через замкнутую произвольную поверхность S в один квадратный метр, параллельную плоскости, в которой расположены векторы и .

Исходя и вышеизложенного, запишем уравнение баланса электромагнитного поля, которое также носит название закона сохранения электромагнитной энергии:

В заключение этого вопроса рассмотрим два частных примера, изображенных на рис. 1.

Рис. 1 – Примеры для выяснения смысла уравнения баланса ЭМП

Запишем уравнение баланса электромагнитного поля для этих примеров. Для случая на рис. 1 а, когда рассматривается объем, в котором присутствуют сторонние силы (эту роль выполняет передающая антенна), уравнение баланса принимает вид:

Для случая на рис. 1 б, когда рассматривается объем, в котором отсутствуют сторонние силы, очевидно, что уравнение баланса будет иметь вид:

Мощность излучения Р_изл или мощность приема Р_прием являются мощностью перехода, т.е. мощностью, проходящую через замкнутую поверхность S рассматриваемого объема V.

Вывод:Конкретный вид уравнения баланса определяется рассматриваемой областью V при заданных источниках сторонних сил.

Дата добавления: 2018-05-12 ; просмотров: 3058 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Энергия электромагнитного поля и теорема Пойнтинга

Одной из важнейших характеристик электромагнитного поля является его энергия. Выше приводилось выражение (1-5), определяющее плотность энергии поля в единице объема. Здесь мы рассмотрим баланс энергии поля в некотором замкнутом объеме , ограниченном поверхностью (рис. 1.2).

Объем заполнен однородной и изотропной средой, имеющей некоторые потери, которая характеризуется параметрами , и .

Внутри объема могут находиться источники поля (сторонние токи ), вследствие конечной проводимости среды в объеме в соответствии с (1-4) существуют токи проводимости .

Соотношение (1-22) носит название теоремы Пойнтинга, оно записано для мгновенных значений входящих в него величин.

Учитывая (1-15), (1-16) и (1-5) получаем, что левая часть (1-22) — это мощность, отдаваемая в данном объеме сторонними токами, первое слагаемое в правой части — увеличение энергии электромагнитного поля в объеме, второе — мощность потерь в объеме, а третье — поток вектора через поверхность . То есть мощность, отдаваемая в объеме сторонними токами, частично расходуется на увеличение запаса энергии в объеме, частично расходуется на потери в объеме и частично излучается во внешнее по отношению к объему пространство. Эта последняя часть мощности определяется как поток вектора (вектор Пойнтинга) через поверхность . Это слагаемое является очень важным, так как определяет наличие или отсутствие излучения. Количественно мгновенное значение мощности, излучаемой из объема , определяется соотношением

— мгновенное значение вектора Пойнтинга (рис. 1.3). Его направление определяется по правилу векторного произведения.

Вектор представляет собой мгновенное значение вектора плотности потока мощности и имеет размерность ватт на квадратный метр. Заметим, что для изменяющихся во времени периодических процессов в течение периода могут изменяться как величина, так и направление вектора . Далее в разделе 1.8 мы рассмотрим определение вектора в случае гармонических колебаний.

Применение метода комплексных амплитуд

В систему уравнений Максвелла входят частные производные по координатам и по времени. Для упрощения решения желательно избавиться хотя бы от производных по времени. Это можно сделать, применив метод комплексных амплитуд.

На практике наиболее часто встречается случай, когда вектора поля и токи изменяются во времени по гармоническому закону. При этом некоторая скалярная величина (например — напряженность поля), характеризующая поле, запишется в виде

где — угловая частота, а — частота колебаний.

Тогда вектор в декартовой системе координат запишется в виде

Здесь ,,- амплитуды составляющих вектора по осям координат, а , , — их фазы.

Среду, в которой существует электромагнитное поле, будем полагать однородной и изотропной, поэтому параметры среды , и — постоянны.

По формуле Эйлера

тогда выражение (1.32) можно записать в виде

и вместо (1.33) получим

где — величина называемая комплексной амплитудой, поскольку содержит информацию об амплитуде и фазе составляющей .

Тогда соотношение (1-36) можно записать в виде

Эта величина называется комплексной амплитудой вектора . Она характеризует амплитуду и фазу всех составляющих вектора .

Если некоторая комплексная величина удовлетворяет дифференциальному уравнению, то ему должны удовлетворять ее действительная и мнимая части. Поэтому в уравнения Максвелла можно вместо подставить и уравнения останутся справедливы.

Подставив вместо , , в (1-1) их комплексные амплитуды получим

В дальнейшем в этих соотношениях можно сократить и опустить индекс и точку сверху. Тогда (1-1) запишем в виде

подразумевая, что на самом деле каждая из векторных величин — это вещественная часть некоторой комплексной величины. Так на самом деле — это . Для того, чтобы перейти обратно к явной зависимости от времени, решение нужно умножить на и в полученном выражении взять вещественную часть.

Введем в уравнения (1-41) кроме электрических магнитные токи (см. раздел 1.4) и будем полагать, что среда характеризуется кроме электрической проводимости еще и магнитной проводимостью . Тогда в соответствии с (1-25), (1-26) и (1-27) вместо (1-41) получаем

Преобразуя правые части (1-42) запишем:

где и — комплексные абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

В среде без потерь , соответственно и и — чисто вещественные величины, в случае среды с потерями и — комплексные величины. Мнимые части в (1-44) характеризуют плотность токов проводимости, т.е. потери в среде.

Чаще всего мы имеем дело с диэлектриком с потерями. Одной из его характеристик является тангенс угла диэлектрических потерь, обозначаемый . Он определяется соотношением

Чем больше , тем больше потери в диэлектрике.

В дальнейшем в обозначениях и точку наверху будем опускать, имея в виду, что в среде без потерь и вещественны, а в среде с потерями — комплексны. Тогда окончательно выражения (1-1) примут вид

Здесь мы избавились от производных по времени и токов проводимости в явном виде. Такая форма записи будет использоваться в дальнейшем.

Энергия магнитного поля тока: в чем измеряется, формула

Энергия магнитного поля — величина, обозначающая работу, затраченную электрическим током в проводнике или катушке индуктивности на образование этого магнитного поля.

Существует зависимость энергии магнитного поля от индуктивности проводника, вокруг которого это поле образовалось. Для обозначения величины используют букву W. Единицами измерения энергии являются Дж/м3 или МГсЭ (Мега Гаусс Эрстеды). К примеру, максимальное значение энергии магнитного поля неодимовых магнитов равно 278-360 Дж/м3, а ферритовых — составляет до 30 Дж/м3.

Описание явления, закон Фарадея

Магнитное поле обладает энергией. Данный факт можно доказать с помощью практического эксперимента. Опыт заключается в исследовании процесса убывания силы тока в катушке при отключении от нее источника тока. Предположим, что до того момента, когда был разомкнут ключ, в катушке имелся ток I, что способствовало образованию магнитного поля. После размыкания ключа катушка и сопротивление соединяются последовательно. В результате самоиндукции ток в катушке будет постепенно уменьшаться. Процесс сопровождается выделением теплоты на сопротивлении. Источник тока отключен, поэтому необходимо определить источник энергии, которая расходуется на тепло. Так как убывает ток и создаваемое им магнитное поле, допустимо говорить о понятии энергии тока или энергии магнитного поля, которое он создает.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В том случае, когда магнитное поле образовано постоянным током, определить место сосредоточения энергии не представляется возможным, так как ток по своему свойству образует магнитное поле, которое в любом случае сопровождается токами. Можно рассмотреть переменное магнитное поле в электромагнитной волне. Такая волна характеризуется наличием магнитных полей в условиях отсутствия токов. Известно, что электромагнитные волны являются переносчиками энергии, что позволяет сделать вывод о существовании энергии в магнитном поле. Таким образом, электрический ток обладает энергией, локализованной в магнитном поле, то есть в среде, окружающей этот ток. Согласно закона сохранения энергии, на примере эксперимента вся энергия магнитного поля выделяется в виде Джоулева тепла на сопротивлении R.

Электромагнитная индукция представляет собой явление возникновения электрического тока, поля или электрической поляризации при изменении с течением времени магнитного поля или в процессе движения материальной среды в нем.

С помощью опытов с катушками и магнитом Фарадею удалось обнаружить зависимость между величиной электродвижущей силы и скорости, с которой перемещаются катушки или магнит. Данное наблюдение послужило основанием для выявления закономерности и формулировки закона электромагнитной индукции.

Закон электромагнитной индукции: электродвижущая сила пропорциональна скорости изменения магнитного потока, проходящего через контур.

Единицами измерения ЭДС являются вольты магнитного потока — веберы. Формула закона Фарадея содержит знак минуса. К данному выражению применено правило Ленца, как пояснение того, что ток, образовавшийся в результате индукции, в любом случае противоположно направлен образующему его магнитному потоку. Магнитное поле индукционного тока всегда препятствует магнитному потоку из внешнего источника. По смыслу правило схоже с законом сохранения энергии.

Потоки энергии электромагнитного поля

Для электромагнитной волны плотность потока энергии определяется вектором Пойнтинга S (в русской научной традиции — вектор Умова — Пойнтинга).

В системе СИ вектор Пойнтинга равен векторному произведению напряжённостей электрического и магнитного полей и направлен перпендикулярно векторам E и H. Это естественным образом согласуется со свойством поперечности электромагнитных волн.

Вместе с тем, формула для плотности потока энергии может быть обобщена для случая стационарных электрических и магнитных полей и имеет тот же вид. Факт существования потоков энергии в постоянных электрических и магнитных полях может выглядеть странно, но не приводит к каким-либо парадоксам; более того, такие потоки обнаруживаются в эксперименте.

Индуктивность в системе магнитно-связанных катушек

Рассмотрим частный случай, когда две магнитно-связанные катушки электрически соединены между собой последовательно, в результате чего в обеих катушках ток I один и тот же. Энергия магнитного поля такой системы

или

где
— индуктивность системы магнитно-связанных катушек.
При согласном включении

при встречном включении

Выражение энергии через характеристики магнитного поля

Формулами (11.13) и (11.14) энергия выражена через характеристики контуров с токами.

Можно показать, что в данном случае энергия распределена в магнитном поле, окружающем проводники с токами.

Для примера возьмем поле катушки с кольцевым сердечником. Если диаметр сечения сердечника много меньше диаметра самого сердечника, поле можно считать равномерным:

Тогда

где
— объем сердечника.
Энергия магнитного поля в единице объема

Здесь энергия выражена через характеристики магнитного поля, что свидетельствует о ее принадлежности магнитному полю.

Определить энергию магнитного поля в системе двух обмоток (задача 8.21) при согласном и встречном их включении, если ток в первой обмотке I1 = 5 А, а во второй I2 = З А.
Решение. Для определения энергии в магнитно-связанной системе двух обмоток воспользуемся формулой (11.14).
Величины индуктивностей катушек и взаимной индуктивности при неферромагнитном сердечнике не зависят от тока в них, поэтому возьмем их по результатам решения задачи 8.21:

При согласном включении обмоток


При встречном включении

Задача 11.9.

Общая индуктивность двух последовательно соединенных катушек (см. рис. 8.22) при согласном включении равна 1,52 мГн, при встречном — 0,88 мГн. Определить взаимную индуктивность катушек.
Решение. Найдем взаимоиндуктивность катушек, решив совместно уравнения (11.15) и (11.16):

Вычтем второе уравнение из первого:

.
В данном случае

От чего зависит величина

Существует ряд некоторых ограничений в применении формулы для расчета энергии магнитного поля. При записи выражения выполнялось несколько условий:

• индуктивность контура, а также магнитная проницаемость вещества стабильны;
• вся энергия источника тока трансформируется в энергию магнитного поля.

Перечисленные условия справедливы лишь в случае вакуума, то есть при (mu)=1. Если контур с током поместить в вещество, то необходимо принимать во внимание следующие параметры:

• намагничивание вещества, что способствует его нагреву;
• объем и плотность вещества в магнитном поле могут изменяться даже при стабильной температуре.

Таким образом, магнитная проницаемость вещества (mu), изменяющаяся при перепадах температуры и плотности среды, не может оставаться постоянной в процессе намагничивания. Также работа источника ЭДС не полностью трансформируется в энергию магнитного поля. В том случае, когда объем вещества изменяется в малой степени, сохраняется стабильной температура среды, внешняя работа затрачивается на увеличение энергии магнитного поля и на теплоотдачу Q, чтобы поддерживать постоянную температуру.

Работа внешних сил, в нашем случае источника тока, совершаемая над телом при квазистатическом изотермическом процессе, соответствует увеличению свободной энергии тела. Таким образом, формула определяет часть свободной энергии намагниченного вещества, которая обладает связью с магнитным полем:

Выражение применимо при рассмотрении ситуаций в условиях вакуума для парамагнетиков и диамагнетиков. Но при опытах с ферромагнетиками магнитная индукция и напряженность магнитного поля связаны нелинейно, даже при T=const.

Энергия электромагнитного поля: формула, обозначение, в чём измеряется

При проведении опытов с катушкой и лампочкой накаливания в электрической цепи можно заметить интересное явление. После отключения индукции от источника электропитания, подключенная к ней параллельно лампа накаливания даёт кратковременную вспышку. В сети возникает ток благодаря воздействию электродвижущей силы самоиндукции. В качестве источника энергии для явления задействуется магнитное поле соленоида.

Для простоты расчёта предположим, что сила тока в цепи снижается линейно.

ЭДС самоиндукции при этом вычисляется по формуле:

где t – время, за которое ток падает до нуля.

За этот временной интервал в цепи «пробегает» заряд:

Проделанная магнитным полем работа равняется:

Это максимальная энергия магнитного поля катушки, вычисляется по формуле (обозначается Wm или W):

Читается как: сила магнитного поля катушки равняется половине произведения квадрата силы протекающего по ней тока I на индуктивность L.

Для конденсатора вычисляется иначе:
, C-ёмкость конденсатора.

Многие не знают, в чем измеряется энергия магнитного поля тока катушки. В системе единиц СИ это джоуль (Дж), названный в честь британского физика.

Графический вывод формулы

Существует возможность получить записанную формулу, используя графический метод. Для этого отобразим на графике зависимость магнитного потока Φ(I) от тока I (рис. 1.21.2). Полное количество выделившейся теплоты, которое равно изначальному запасу энергии магнитного поля, определится как площадь получившегося на рис. 1.21.2 треугольника:

В итоге формула энергии Wм магнитного поля катушки с индуктивностью L, создаваемого током I, будет записана в виде формулы:

Используем выражение, которое мы получили, для энергии катушки к длинному соленоиду с магнитным сердечником. Применяя указанные выше формулы для коэффициента самоиндукции Lμ соленоида и для магнитного поля B, создаваемого током I, получим запись:

В этой формуле V является объемом соленоида. Полученное выражение демонстрирует нам, что магнитная энергия имеет локализацию не в витках катушки, по которым проходит ток, а распределена по всему объему, в котором возникло магнитное поле.

Объёмная плотность магнитной энергии – это физическая величина, которая равна энергии магнитного поля в единице объема: Wм=B22μ·μ.

В свое время Максвелл продемонстрировал, что указанная формула (в нашем случае выведенная для длинного соленоида) верна для любых магнитных полей.

Задача

Определить силу тока в соленоиде с индуктивностью 20 мГн, необходимую для генерирования энергии магнитного поля, равной 5 Дж.

Воспользуемся известной формулой:
, отсюда
.

. Подставим значения, зная, что 20 мГн = 0,02 Гн.

Ограничения в применении формулы для вычисления плотности энергии магнитного поля

При получении формулы (9) считалось, что:

1. индуктивность контура, следовательно, магнитная проницаемость вещества не изменяются,
2. вся энергия источника тока переходит в энергию магнитного поля.

Эти условия справедливы точно, только для вакуума. При помещении контура с током в вещество, следует учитывать:

• Намагничивание вещества, что ведет к увеличению ее температуры.
• Объем и плотность вещества в магнитном поле способны меняться даже при неизменной температуре.

Данные нюансы указывают на то, что магнитная проницаемость вещества ($mu$), которая изменяется при изменении температуры и плотности среды не может быть неизменной при намагничивании.

Кроме того, работа источника ЭДС не целиком переходит в энергию магнитного поля.

Выше сказанное дает основание полагать, что в общем случае формула (2) не выражает в точности работу при намагничивании и выражение (9) не дает объемную плотность энергии магнитного поля в веществе.

Допустим, что изменение объема вещества мало. Температура среды постоянна. Внешняя работа расходуется на рост энергии магнитного поля E и на теплоотдачу Q, для поддержания постоянной температуры. Работа внешних сил, в нашем случае источника тока, которая совершается над телом при квазистатическом изотермическом процессе, будет равна приращению свободной энергии тела. Получается, что формула (9) отражает часть свободной энергии намагниченного вещества, которая связана с магнитным полем.

Если количества теплоты Q в сравнении с энергией поля E мало, тогда выполняется равенство (2).

Условие неизменности магнитной проницаемости вещества, означает, что справедлива линейная зависимость (10). Даная зависимость выполняется для вакуума. Ее можно применять для парамагнетиков и диамагнетиков. Но для ферромагнетиков связь между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля является сильно нелинейной даже при T=const, поэтому выражение (9) для этих веществ не применяется.