Запас устойчивости как найти

5.5 Определение запасов устойчивости

Определить запасы устойчивости по амплитуде и по фазе, используя критерий Найквиста и логарифмический критерий.

Запас устойчивости по амплитуде — это минимальный отрезок действительной оси h, характеризующий расстояние между критической точкой (-1, j0) и ближайшей точкой пересечения годографом Найквиста вещественной оси.

Запас устойчивости по фазе  — это минимальный угол, образуемый радиусом, проходящим через точку пересечения годографа Найквиста с окружностью единичного радиуса с центром в начале координат и вещественной отрицательной полуосью

Рисунок. 17. Запасы устойчивости САР по критерию Найквиста

Определение запасов устойчивости по логарифмическому критерию.

Запас устойчивости по амплитуде характеризует отрезок при том значении частоты, при котором ЛФЧХ ( )= —. Запасу устойчивости по фазе соответствует угол между ЛФЧХ и линией —при частоте среза.

Рисунок18. Запасы устойчивости САР по логарифмическому критерию

6. Синтез системы автоматического управления методом логарифмических частотных характеристик.

Meтод ЛЧХ является одним из наиболее распространенных методов синтеза автоматического управления, так как построение ЛЧХ, как правило, может выполняться практически без вычислительной работы. Особенно удобно использовать асимптотические «идеальные» ЛАЧХ.

Процесс синтеза обычно включает в себя следующие операции;

1. Построение ЛАЧХ неизменяемой части системы.

Неизменяемая часть системы регулирования содержит объект регулирования и исполнительный элемент, а также основной элемент обратной связи и элемент сравнения ЛАЧХ неизменяемой части строят по передаточной функции разомкнутой неизменяемой части системы.

2. Построение желаемой части ЛАЧХ.

График желаемой ЛАЧХ делается на основе тех требований, которые предъяв­ляются к проектируемой системе управления. Желаемую ЛАЧХ Lж условно можно разделить на три части: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную.

2.1 Низкочастотную часть определяет статическую точность системы, точность в установившихся режимах. В статической системе низкочастотная асимптота параллельна оси абсцисс. В астатической системе наклон этой асим­птоты составляет –20мдБ/дек, где — порядок астатизма (=1,2). Ордината низко­частотной частиLж определяется значением передаточного коэффициента К ра­зомкнутой системы. Чем шире низкочастотная часть Lж, тем больше высоких частот воспроизводится системой без замкнутого ослабления.

2.2 Среднечастотная часть является наиболее важной, так как она определяет устойчивость, запас устойчивости и, следовательно, качество переходных процес­сов, оцениваемое обычно показателями качества переходной характеристики. Основные параметры среднечастотной асимптоты -это её наклон и частота среза ср (частота при которойLж пересекает ось абсцисс). Чем больше наклон сред­нечастотной асимптоты, тем труднее обеспечить хорошие динамические свойст­ва системы. Поэтому наиболее целесообразен наклон -20дБ/ дек и крайне редко он превышает -40дБ /дек Частота срезаср определяет быстродействие системы, и значение величины перерегулирования. Чем большеср, тем выше быстро­действие, тем меньше время регулирования Тпп переходной характеристики, тем больше перерегулирование.

2.3 Высокочастотная часть ЛАЧХ незначительно влияет на динамические свойства системы. Лучше иметь возможно больше наклон ее асимптоты, что уменьшает требуемую мощность исполнительного opгана и влияние высоко­частотных помех. Иногда при расчете высокочастотную ЛАЧХ не принимают во внимание.

При построении желаемой ЛАЧХ рекомендуется иметь наклон среднечастотной асимптоты -20дб/дек, а частоту среза и частоты, ограничиваю- щие среднечастотную асимптоту, иопределить по формулам (2;c 218)

где — коэффициент, зависящий от величины перерегулирования,

,должен быть выбран по графику приведенном на рисунке 1.

Рисунок 18- График для определения по допустимому перерегулированию коэффициента .

Ордината низкочастотной асимптоты определяется соответственно коэффици­

ентом усиления и наклоном высокочастотной асимптоты переходной, разомкну­той CAP.

3. Определение параметров корректирующего устройства.

3.1 График ЛАЧХ корректирующего устройства получается вычитанием из зна­чения графика желаемой ЛАЧХ значений графика неизменяемой, после чего по ЛАЧХ корректирующего устройства определяется его передаточная функция [1;с415].

3.2 По передаточной функции регулятора подбирается электрическая схема для реализации корректирующего устройства и рассчитываются значения её па­раметров. Схема регулятора может быть на пассивных или на актив­ных элементах.

3.3 Передаточная функция корректирующего устройства, полученная в пункте 3.1,включается в обобщенную структурную схему САУ Используя обобщенную структурную схему скорректированной САУ, с помощью ЭВМ, строятся графики переходных процессов, которые должны быть не хуже заданных.

6.Синтез системы автоматического управления методом логарифмических частотных характеристик.

Запасы устойчивости систем автоматического регулирования

О запасе устойчивости можно судить по расположению корней характеристического уравнения САР на комплексной плоскости корней (рис. 4.12). Чем дальше они отстоят от мнимой оси в левой полуплоскости, тем больше запас устойчивости.

Рис. 4.12. Комплексная плоскость корней

Каждый критерий устойчивости также позволяет определять запас устойчивости системы. Однако, наибольшее применение на практике находит критерий Найквиста. Устойчивость САР зависит от расположения годографа Найквиста относительно критической точки с координатами (-1, j 0). Чем ближе эта кривая проходит от критической точки, тем ближе САР к границе устойчивости.

Для устойчивых САР выделяют запасы устойчивости по амплитуде h и по фазе g.

Запас устойчивости по амплитуде h – это минимальный отрезок, характеризующий расстояние между критической точкой и ближайшей точкой пересечения годографом Найквиста вещественной оси на отрезке [0, -1] (рис. 4.13).

Рис.4.13. Определение запасов устойчивости по критерию Найквиста

Запас устойчивости по фазе g — это минимальный угол, образуемый радиусом, проходящим через точку пересечения годографа Найквиста с окружностью единичного радиуса с центром в начале координат и отрицательной вещественной полуосью.

Система обладает необходимым запасом устойчивости, если она удовлетворяет условию устойчивости и имеет значение модуля , отличающееся от единицы не менее, чем на заданную величину h (запас устойчивости по амплитуде) и угол поворота или фазу, отличающуюся от (-p) не менее, чем на величину g (запас устойчивости по фазе) (рис. 4.14).

Рис.4.14. Требуемые запасы устойчивости САР

В случае применения логарифмического критерия для анализа устойчивости САР запасы устойчивости определяются по логарифмическим частотным характеристикам, так как показано на рис. 4.15.

Рис.4.15. Определение запасов устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам

Запасу устойчивости САР по амплитуде соответствует отрезок

при том значении частоты, при котором ЛФЧХ . Запасу устойчивости по фазе соответствует значение угла между ЛФЧХ и линией -p при частоте среза w_с.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Запас устойчивости как найти

10.1. Понятие структурной устойчивости. АФЧХ астатических САУ

САУ может быть неустойчивой по двум причинам: неподходящий состав динамических звеньев и неподходящие значения параметров звеньев.

САУ, неустойчивые по первой причине называются структурно неустойчивыми . Это означает, что изменением параметров САУ нельзя добиться ее устойчивости, нужно менять ее структуру.

Например, если САУ состоит из любого количества инерционных и колебательных звеньев, она имеет вид, показанный на рис.72

При увеличении коэффициента усиления САУ K каждая точка ее АФЧХ удаляется от начала координат, пока при некотором значении K _крит АФЧХ не пересечет точку ( -1, j0 ). При дальнейшем увеличении K , САУ будет неустойчива. И наоборот, при уменьшении K такую САУ в принципе возможно сделать устойчивой, поэтому ее называют структурно устойчивой .

Если САУ астатическая, то при ее размыкании характеристическое уравнение можно представить в виде: pD ₁ p(p) = 0 , где n — порядок астатизма , равный количеству последовательно включенных интеграторов. Это уравнение имеет нулевые корни, поэтому при 0 , АФЧХ стремится к (рис.71в и 71г). Например, пусть W _р (p) = , здесь = 1 , тогда АФЧХ разомкнутой САУ:

Так как порядок знаменателя больше порядка числителя, то при 0 имеем P() — , Q() -j . Подобная АФЧХ представлена на рис.73.

Так как АФЧХ терпит разрыв, трудно сказать, охватывает ли она точку (-1,j0) . В этом случае пользуются следующим приемом: если АФЧХ терпит разрыв, уходя в бесконечность при 0 , ее дополняют мысленно полуокружностью бесконечного радиуса, начинающейся на положительной вещественной полуоси и продолжающейся до АФЧХ в отрицательном направлении. После этого можно применить критерий Найквиста. Как видно из рисунка, САУ, имеющая одно интегрирующее звено, является структурно устойчивой.

Если САУ имеет два интегрирующих звена (порядок астатизма = 2 ), ее АФЧХ уходит в бесконечность во втором квадранте (рис.74).

Например, пусть W _р (p) = , тогда АФЧХ САУ:

При 0 имеем P() -, Q() + j. Такая САУ не будет устойчива ни при каких значениях параметров, то есть она структурно неустойчива.

Структурно неустойчивую САУ можно сделать устойчивой, включив в нее корректирующие звенья (например, дифференцирующие или форсирующие) или изменив структуру САУ, например, с помощью местных обратных связей.

10.2. Понятие запаса устойчивости

В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать САУ так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости .

Согласно критерия Найквиста, чем дальше АФЧХ от критической точки (-1, j0) , тем больше запас устойчивости. Различают запасы устойчивости по модулю и по фазе.

Запас устойчивости по модулю характеризует удаление годографа АФЧХ разомкнутой САУ от критической точки в направлении вещественной оси и определяется расстоянием h от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс (рис.75).

Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.

Как уже отмечалось, с ростом коэффициента передачи разомкнутой САУ растет модуль каждой точки АФЧХ и при некотором значении K = K _кр АФЧХ пройдет через критическую точку (рис.76) и попадет на границу устойчивости, а при K > K _кр замкнутая САУ станет неустойчива. Однако в случае “клювообразных” АФЧХ (получаются из-за наличия внутренних обратных связей) не только увеличение, но и уменьшение K может привести к потере устойчивости замкнутых САУ (рис.77). В этом случае запас устойчивости определяется двумя отрезками h ₁ и h ₂ , заключенными между критической точкой и АФЧХ.

Обычно при создании САУ задаются требуемыми запасами устойчивости h и , за пределы которых она выходить не должна. Эти пределы выставляются в виде сектора, вычерчиваемого вокруг критической точки, в который АФЧХ разомкнутой САУ входить не должна (рис.78).

10.3. Анализ устойчивости по ЛЧХ

Оценку устойчивости по критерию Найквиста удобнее производить по ЛЧХ разомкнутой САУ. Очевидно, что каждой точке АФЧХ будут соответствовать определенные точки ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Пусть известны частотные характеристики двух разомкнутых САУ (1 и 2), отличающихся друг от друга только коэффициентом передачи K _{1 2} . Пусть первая САУ устойчива в замкнутом состоянии, вторая нет.(рис.79).

Если W ₁ (p) — передаточная функция первой САУ, то передаточная функция второй САУ W ₂ (p) = KW ₁ (p) , где K = K ₂ /K ₁ . Вторую САУ можно представить последовательной цепочкой из двух звеньев с передаточными функциями K (безынерционное звено) и W ₁ (p) , поэтому результирующие ЛЧХ строятся как сумма ЛЧХ каждого из звеньев.

Поэтому ЛАЧХ второй САУ: L ₂ () = 20lgK + L ₁ () ,

Пересечениям АФЧХ вещественной оси соответствует значение фазы = — . Это соответствует точке пересечения ЛФЧХ = — линии координатной сетки. При этом, как видно на АФЧХ, амплитуды A ₁ () ₂ () > 1 , что соответствует на САЧХ значениям L ₁ () = 20lgA ₁ () ₂ () > 0 .

Сравнивая АФЧХ и ЛФЧХ можно заключить, что система в замкнутом состоянии будет устойчива, если значению ЛФЧХ = — будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и наоборот. Запасам устойчивости по модулю h ₁ и h ₂ , определенным по АФЧХ соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где = — , но в логарифмическом масштабе.

Особыми точками являются точки пересечения АФЧХ с единичной окружностью. Частоты _c1 и _c2 , при которых это происходит называют частотами среза .

В точках пересечения A() = 1 = > L() = 0 — ЛАЧХ пересекает горизонтальную ось. Если при частоте среза фаза АФЧХ c1 > — (рис.79а кривая 1), то замкнутая САУ устойчива. На рис.79б это выглядит так, что пересечению ЛАЧХ горизонтальной оси соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше линии = — . И наоборот для неустойчивой замкнутой САУ (рис.79а кривая 2) c2 — , поэтому при = _c2 ЛФЧХ проходит ниже линии = — . Угол ₁ = _c1 -(-) является запасом устойчивости по фазе. Этот угол соответствует расстоянию от линии = — до ЛФЧХ.

Исходя из сказанного, критерий устойчивости Наквиста по логарифмическим ЧХ, в случаях, когда АФЧХ только один раз пересекает отрезок вещественной оси [-;-1] , можно сформулировать так: для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы частота, при которой ЛФЧХ пересекает линию = — , была больше частоты среза.

Если АФЧХ разомкнутой САУ имеет сложный вид (рис.80), то ЛФЧХ может несколько раз пересекать линию = — . В этом случае применение критерия Найквиста несколько усложняется. Однако во многих случаях данной формулировки критерия Найквиста оказывается достаточно.

Запасы устойчивости и методы их определения

Поскольку параметры системы в процессе работы могут изменять свою величину, то система, устойчивая при одних значениях параметров, может стать неустойчивой при их изменении. Таким образом, важное значение приобретает количественная оценка, характеризующая степень удаленности системы от неустойчивого состояния, называемая запасом устойчивости.

Замкнутая система может перейти в состояние самовозбуждения (генерации) при одновременном выполнении двух условий: | K(jco) | = 1 (баланс амплитуд) и (р<оз) = -л (баланс фаз). Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, система будет устойчива.

Запасы устойчивости определяют на двух частотах: частоте среза ( 1. Таким образом, он по казывает, на сколько градусов не выполняется баланс фаз при выполнении баланса амплитуд.

Запас устойчивости по модулю (ЗУМ) показывает, во сколько раз модуль коэффициента передачи на критической частоте (при (р(со_кр) = -я) отличается от 1:

h

Запасы устойчивости могут быть определены как по годографу К(]со), так и по логарифмическим частотным характеристикам Цсо) и (р<со).

На рисунке 10.9 показан пример определения запасов устойчивости по годографа K(ja>

Рисунок 10.9 — Определение запасов устойчивости по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы

Если годограф пересекает вещественную ось только справа от точки (- 1), то системы РА называют абсолютно устойчивыми, как показано на рисунке 10.10.

С ростом коэффициента передачи модуль АФЧХ также растет. При некотором значении к = к_кр, называемом критическим коэффициентом усиления, АФЧХ пройдет через точку (-1), то есть система будет на границе устойчивости. При к > к_кр система будет неустойчива. Таким образом, увеличение коэффициента передачи по петле обратной связи снижает устойчивость.

Недостатком определения запасов устойчивости по годографу является сложность построения амплитудно-фазовой характеристики. Значительно проще провести анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам.

На рисунке 10.12 показаны примеры определения запасов устойчивости по модулю AL(oj) = 20lg h и по фазе с применением ЛАЧХ и ЛФЧХ, со

ответствующих годографу рис. 10.9.

Рисунок 10.10 — Связь устойчивости с коэффициентом усиления по петле обратной связи.

При сложных типах годографов самовозбуждение может наступить не только при увеличении, но и при уменьшении коэффициента усиления (рисунок 10.11). Такие системы называют условно-устойчивыми. В этом случае определяют два значения ЗУМ: /гі и /г₂.

Рисунок 10.11 — Определение запасов устойчивости для условно устойчивой системы

Если годограф не охватывает точку (-1), то есть система остается устойчивой, при любых параметрах (постоянных времени, коэффициенте усиления), то такая система называется структурно-устойчивой.

Рисунок 10.12- Определение запасов устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам