Среднеквадратичное значение
В зарубежной терминологии применяется аббревиатура RMS (rms) — root mean square.
В математике для набора чисел x1, x2, . xn количеством n среднеквадратичное значение (rms) определяется выражением:
Например, для чисел 2,3 и 6 среднеквадратичным значением будет квадратный корень из (2²+3²+6²)/3. √(49/3) = 4.04
Среднеквадратичным значением двух или нескольких чисел является квадратный корень из среднеарифметического значения квадратов этих чисел.
Для любой непрерывной функции в интервале T1 — T2 среднеквадратичное значение можно рассчитать по формуле:
Среднеквадратичное значение применяется в расчётах, где существует пропорциональная зависимость не самих переменных значений, а их квадратов.
Действующее значение напряжения и тока
В качестве примера можно рассмотреть квадратичную зависимость мощности или работы электрического тока от значений тока или напряжения.
Величина постоянного напряжения или тока является его среднеквадратичным значением.
Среднеквадратичное значение переменного тока равно величине постоянного тока, действие которого произведёт такую же работу в активной (резистивной) нагрузке за время периода.
Определяющим фактором здесь является среднее (среднеарифметическое) значение мощности Pavg или работы Aavg, пропорциональное квадрату значения тока.
Так же среднеквадратичное значение переменного напряжения за период равносильно по своему воздействию на активную нагрузку такому же значению постоянного напряжения.
Среднеквадратичное значение переменного напряжения или тока часто называют действующим или эффективным.
Величину переменного напряжения или тока, в большинстве случаев, выражают его среднеквадратичным значением и измеряют приборами электромагнитного типа или специальными среднеквадратичными измерителями — True RMS.
Примечание:
Электромагнитные приборы используют для измерения переменного тока и напряжения в промышленных установках. Усилие, создаваемое измерительной катушкой в электромагнитном приборе, пропорционально квадрату тока, поэтому не меняется по направлению.
Угол отклонения стрелки определится некоторым средним усилием F, которое будет пропорционально среднеквадратичному значению тока.
Расчёт действующего значения
В качестве примера рассчитаем среднеквадратичное значение синусоидального напряжения.
Запишем выражение Urms с применением интеграла функции U = Uampsin(t) для одного периода 2π :
Показать расчёт
Вынесем Uamp из под знака радикала. Воспользуемся табличным интегралом 
, перепишем и решим последнее выражение с применением формулы Ньютона-Лейбница:
Так как sin(2π), sin(4π) и sin(0) равны нулю, вычисляем RMS синусоиды следующим образом:
В результате решения в итоге получим:
Расчёт RMS для напряжения или тока треугольной и пилообразной формы можно рассмотреть на примере одного периода T для функции 
, представленной на рисунке:
Выразим Urms искомой функции с помощью определённого интеграла:
Показать расчёт
Используя табличный интеграл 
и формулу Ньютона-Лейбница, получаем:
В итоге преобразований получим:
Ток или напряжение любой сложной формы можно рассмотреть, как набор функций в пределах периода. Тогда значением RMS будет квадратный корень из среднеарифметического значения интегралов для квадрата каждой функции, ограниченной её интервалом времени в периоде.
Например, для множества функций F1(t) , F2(t) , . , Fn(t) в соответствующих им интервалах времени (0 — T1), (T1 — T2), . (Tn — T), составляющих период T, действующее напряжение (RMS) определится выражением:
Для вариантов однополярного или двуполярного напряжения пилообразной и треугольной формы в периоде 2T или 4T, представленных на рисунке ниже, T и U amp имеют те же расчётные величины, что и в рассмотренном случае c функцией , а интегралы, определённые в интервалах, равных T, для квадратов используемых функций 
, будут иметь одно и то же значение 
Следовательно, вышеуказанные варианты однополярного или двуполярного напряжения пилообразной и треугольной формы будут иметь среднеквадратичное значение .
В заключении рассмотрим пример вычисления действующего значения положительных прямоугольных импульсов длительностью Ti .
Выразим Urms одного периода T, как квадратный корень из среднеарифметического значения интегралов, определённых в интервалах 0 — Ti и Ti — T для квадратов всех значений периода.
В результате получаем значение RMS, равное произведению амплитуды импульсов Uamp на квадратный корень из коэффициента заполнения (Ti / T).
В качестве дополнительного материала предлагаем рассмотреть расчёт средеквадратичного значения напряжения накала кинескопа цветного телевизора, исходя из амплитуды и формы напряжения.
Как записать сокращенно среднеквадратическое напряжение
В зарубежной терминологии применяется аббревиатура RMS (rms) — root mean square.
В математике для набора чисел x1, x2, . xn количеством n среднеквадратичное значение (rms) определяется выражением:
Например, для чисел 2,3 и 6 среднеквадратичным значением будет квадратный корень из (2²+3²+6²)/3. √(49/3) = 4.04
Среднеквадратичным значением двух или нескольких чисел является квадратный корень из среднеарифметического значения квадратов этих чисел.
Для любой непрерывной функции в интервале T1 — T2 среднеквадратичное значение можно рассчитать по формуле:
Среднеквадратичное значение применяется в расчётах, где существует пропорциональная зависимость не самих переменных значений, а их квадратов.
Действующее значение напряжения и тока
В качестве примера можно рассмотреть квадратичную зависимость мощности или работы электрического тока от значений тока или напряжения.
Величина постоянного напряжения или тока является его среднеквадратичным значением.
Среднеквадратичное значение переменного тока равно величине постоянного тока, действие которого произведёт такую же работу в активной (резистивной) нагрузке за время периода.
Определяющим фактором здесь является среднее (среднеарифметическое) значение мощности Pavg или работы Aavg, пропорциональное квадрату значения тока.
Так же среднеквадратичное значение переменного напряжения за период равносильно по своему воздействию на активную нагрузку такому же значению постоянного напряжения.
Среднеквадратичное значение переменного напряжения или тока часто называют действующим или эффективным.
Величину переменного напряжения или тока, в большинстве случаев, выражают его среднеквадратичным значением и измеряют приборами электромагнитного типа или специальными среднеквадратичными измерителями — True RMS.
Примечание:
Электромагнитные приборы используют для измерения переменного тока и напряжения в промышленных установках. Усилие, создаваемое измерительной катушкой в электромагнитном приборе, пропорционально квадрату тока, поэтому не меняется по направлению.
Угол отклонения стрелки определится некоторым средним усилием F, которое будет пропорционально среднеквадратичному значению тока.
Расчёт действующего значения
В качестве примера рассчитаем среднеквадратичное значение синусоидального напряжения.
Запишем выражение Urms с применением интеграла функции U = Uampsin(t) для одного периода 2π :
Показать расчёт
Вынесем Uamp из под знака радикала. Воспользуемся табличным интегралом , перепишем и решим последнее выражение с применением формулы Ньютона-Лейбница:
Так как sin(2π), sin(4π) и sin(0) равны нулю, вычисляем RMS синусоиды следующим образом:
В результате решения в итоге получим:
Расчёт RMS для напряжения или тока треугольной и пилообразной формы можно рассмотреть на примере одного периода T для функции , представленной на рисунке:
Выразим Urms искомой функции с помощью определённого интеграла:
Показать расчёт
Используя табличный интеграл и формулу Ньютона-Лейбница, получаем:
В итоге преобразований получим:
Ток или напряжение любой сложной формы можно рассмотреть, как набор функций в пределах периода. Тогда значением RMS будет квадратный корень из среднеарифметического значения интегралов для квадрата каждой функции, ограниченной её интервалом времени в периоде.
Например, для множества функций F1(t) , F2(t) , . , Fn(t) в соответствующих им интервалах времени (0 — T1), (T1 — T2), . (Tn — T), составляющих период T, действующее напряжение (RMS) определится выражением:
Для вариантов однополярного или двуполярного напряжения пилообразной и треугольной формы в периоде 2T или 4T, представленных на рисунке ниже, T и U amp имеют те же расчётные величины, что и в рассмотренном случае c функцией , а интегралы, определённые в интервалах, равных T, для квадратов используемых функций , будут иметь одно и то же значение
Следовательно, вышеуказанные варианты однополярного или двуполярного напряжения пилообразной и треугольной формы будут иметь среднеквадратичное значение .
В заключении рассмотрим пример вычисления действующего значения положительных прямоугольных импульсов длительностью Ti .
Выразим Urms одного периода T, как квадратный корень из среднеарифметического значения интегралов, определённых в интервалах 0 — Ti и Ti — T для квадратов всех значений периода.
В результате получаем значение RMS, равное произведению амплитуды импульсов Uamp на квадратный корень из коэффициента заполнения (Ti / T).
В качестве дополнительного материала предлагаем рассмотреть расчёт средеквадратичного значения напряжения накала кинескопа цветного телевизора, исходя из амплитуды и формы напряжения.
Параметры переменного напряжения
Как вы помните из предыдущей статьи , переменное напряжение — это напряжение, которое меняется со временем. Оно может меняться с каким-то периодом, а может быть хаотичным. Но не стоит также забывать, что и переменное напряжение обладает своими особенными параметрами.
Среднее значение напряжения
Среднее значение переменного напряжения Uср — это, грубо говоря, площадь под осциллограммой относительно нуля за какой-то промежуток времени. Чтобы это понять, давайте рассмотрим вот такую осциллограмму.
Например,чему равняется среднее значение напряжения за эти два полупериода? В данном случае ноль вольт . Почему так? Площади S1 и S2 равны. Но все дело в том, что площадь S2 берется со знаком «минус». А так как площади равны, то в сумме они дают ноль: S1+(-S2)=S1-S2=0. Для бесконечного по времени синусоидального сигнала среднее значение напряжения также равняется нулю.
То же самое касается и других сигналов, например, двухполярного меандра. Меандр — это прямоугольный сигнал, у которого длительности паузы и импульса равны. В этом случае его среднее напряжение также будет равняться нулю.
Средневыпрямленное значение напряжения
Чаще всего используют средневыпрямленное значение напряжения Uср. выпр. То есть площадь сигнала, которая «пробивает пол» берут не с отрицательным знаком, а с положительным.
средневыпрямленное значение напряжения будет уже равняться не нулю, а S1+S2=2S1=2S2. Здесь мы суммируем площади, независимо от того, с каким они знаком.
На практике средневыпрямленное значение напряжения получить легко, использовав диодный мост . После выпрямления синусоидального сигнала, график будет выглядеть вот так:
Для того, чтобы примерно узнать, чему равняется средневыпрямленное напряжение, достаточно узнать максимальную амплитуду синусоидального сигнала Umax и сосчитать ее по формуле:
Среднеквадратичное значение напряжения
Чаще всего используют среднеквадратичное значение напряжения или его еще по-другому называют действующим . В литературе обозначается просто буквой U . Чтобы его вычислить, тут уже простым графиком не отделаешься. Среднеквадратичное значение — это значение постоянного напряжения, который, проходя через нагрузку (скажем, лампу накаливания), выделяет за тот же промежуток времени такое же количество мощности, какое выделит в этой нагрузке переменное напряжение. В английском языке среднеквадратичное напряжение обозначается так: RMS (rms) — root mean square .
Связь между амплитудным и среднеквадратическим значением устанавливается через коэффициент амплитуды K a :
Вот некоторые значения коэффициента амплитуды K a для некоторых сигналов переменного напряжения:
Более точные значения 1,41 и 1,73 — это √2 и √3 соответственно.
Как измерить среднеквадратичное значение напряжения
Для правильного замера среднеквадратического значения напряжения у нас должен быть мультиметр с логотипом T-RMS. RMS — как вы уже знаете — это среднеквадратическое значение. А что за буква «T» впереди? Думаю, вы помните, как раньше была мода на одно словечко: «тру». «Она вся такая тру…», «Ты тру или не тру?» и тд. Тру (true) — с англ. правильный, верный.
Его амплитудное Umax , средневыпрямленное Uср.выпр . и среднеквадратичное напряжение U равняется одному и тому же значению. В данном случае это 1 Вольт.
Вот вам небольшая картинка, чтобы не путаться
- Сред. — средневыпрямленное значение сигнала. Это и есть площадь под кривой
- СКЗ — среднеквадратичное напряжение. Как мы видим, для синусоидальных сигналов, оно будет больше, чем средневыпрямленное.
- Пик. — амплитудное значение сигнала
- Пик-пик. — размах или двойная амплитаду. Или иначе, амплитуда от пика до пика.
Так что же все-таки показывает мультиметр при измерении переменного напряжения? Показывает он НЕ амплитудное, НЕ среднее и НЕ среднее выпрямленное напряжение, а среднее квадратическое, то есть действующее напряжение ! Об этом всегда помним.
Действующее значение переменного тока и напряжения: среднеквадратичная величина
В зарубежной терминологии применяется аббревиатура RMS (rms) — root mean square. В математике для набора чисел x1, x2, …, xn количеством n среднеквадратичное значение (rms) определяется выражением:
Например, для чисел 2,3 и 6 среднеквадратичным значением будет квадратный корень из (2²+3²+6²)/3. √(49/3) = 4.04
Среднеквадратичным значением двух или нескольких чисел является квадратный корень из среднеарифметического значения квадратов этих чисел.
Для любой непрерывной функции в интервале T
1 —
T
2 среднеквадратичное значение можно рассчитать по формуле:
Среднеквадратичное значение применяется в расчётах, где существует пропорциональная зависимость не самих переменных значений, а их квадратов.
Расчет среднего и среднеквадратичного значений тока/напряжения
. . Вот здесь есть расширенный и углубленный вариант данной заметки . .
Будучи в очень недавнем прошлом яростным разработчиком всевозможных импульсных источников питания, интересовался всяким по данной теме. В частности – вычислением среднего (AVG, Average) и среднеквадратичного (действующего, эффективного, RMS) значений напряжений и (особенно) токов, живущих в разрабатываемом источнике. Для тех, кто не помнит/не знает – напомню определение среднеквадратичного значения тока/напряжения из Википедии:
Действующим (эффективным) значением силы переменного тока называют величину постоянного тока, действие которого произведёт такую же работу (тепловой или электродинамический эффект), что и рассматриваемый переменный ток за время одного периода. В современной литературе чаще используется математическое определение этой величины — среднеквадратичное значение силы переменного тока
Посему, хочешь узнать статические потери на ключе флайбэка – будь добр посчитать среднеквадратичное значение тока первички. Надо узнать мощность токосчитывающего резистора – туда же. И про выпрямители во вторичной цепи – та же песня. Даже потери (и приблизительный нагрев) в обмотках трансов и дросселей для хиленьких источников и невысоких частот преобразования в первом приближении можно посчитать при помощи среднеквадратичного значения тока, через эти обмотки протекающего.
Эффективные (RMS) значения
Среднеквадратическим (RMS), или эффективным значением является значение напряжения или тока, при котором на нагрузке рассеивается та же мощность, что и при постоянном напряжении или токе. При переменном напряжении с эффективным значением 230В будет выделяться такое же количество тепла на нагрузке, как и при постоянном напряжении 230В. Действующее значение относится только к выделению тепла на резистивной нагрузке. Для примера, значение RMS тока полезно для измерения напряжения под нагрузкой в проводе (= резистивная), но не для измерения зарядного тока батареи или конденсатора (= поток электронов).
Среднеквадратическое значение
RMS является аббревиатурой от Root Mean Square, что буквально переводится как среднеквадратическое значение.
Над напряжением или током, как функциями времени, для вычисления значения RMS последовательно проводятся три математические операции: возведение в квадрат, усреднение и извлечение квадратного корня. Почему так?
Мощность, выделяемая на резисторе, подключенным к источнику напряжения:
Для мгновенных мощности и напряжения:
Вычисление средней мощности как функции времени показано в (10). можем подстваить из (13):
Так как — константа, то ее можно вынести за интеграл:
Перенеся напряжение в уравнении (12) в левую часть, мы можем расчитать напряжение по средней мощности и сопротивлению:
Затем, вычисленную среднюю мощность из (15), подставим в уравнение (16):
Сократив значения сопротивлений , получим:
Хорошо видно, что это уравнение состоит из трех частей: квадрата , среднего и квадратного корня.
В приведенных выше выкладках вычислялось значение напряжения на резисторе. Аналогично можно сделать и для тока через резистор:
Большинство мультиметров не может вычислить эффективное значение измеряемого напряжения. Чтобы узнать среднеквадратическое значение, обычно необходим специальный прибор.
На рисунке ниже показано, как вычисляет измеряемое напряжение прибор True RMS (истинные среднеквадратические значения). True RMS прибор, на практике, использует несколько иной метод работы, в котором необходим только один умножитель. Аналоговые умножители должны иметь очень низкий температурный дрейф и смещение, что делает эти инструменты достаточно дорогими.
Аналоговая схема получения RMS-значений
Кроме того, можно сделать расчет RMS программным путем с последовательных цифровых значений измеряемых напряжений. Этот подход обычно используется в мультиметрах и цифровых осциллографах.
Среднеквадратичное (действующее, эффективное) значение
Что же из себя представляет среднеквадратичное значение напряжения и как его замерить? Давайте разберем значение этого термина. Поможет нам в этих делах наш осциллограф OWON SDS6062 , Блок питания, а также ЛАТР (Лабораторный автотрансформатор).
Лампочка и постоянное напряжение
Для опытов нам также понадобится простая автомобильная лампа накаливания на напряжение 12 Вольт
Вот ее характеристики: рабочее напряжение U=12 Вольт, мощность Р = 21 Ватт.
Следовательно, зная мощность и напряжение лампы, можно узнать, какую силу тока будет потреблять лампочка. Из формулы P=IU, где I – сила тока, можно найти I. Значит I=P/U=21/12=1,75 Ампер.
Ладно, с лампочкой разобрались. Давайте ее зажжем. Для этого на нашем блоке питания выставляем рабочее напряжение для нашей лампы
Подаем напряжение с блока питания на лампу и вуаля!
Замеряем напряжение на клеммах-крокодилах блока питания с помощью мультиметра . Ровнехонько 12 Вольт, как и предполагалось.
К этим же клеммах цепляем и наш осциллограф
Видите прямую линию? Это и есть осциллограмма постоянного напряжения. В течение времени у нас напряжение остается таким, каким и было и не меняется. Если посчитать, то можно вычислить, чему равняется напряжение. Так как одна клеточка у нас 5 Вольт (на фото внизу слева), то значит, наше напряжение 12 Вольт. Я также вывел это значение на дисплей осциллографа в самом нижнем левом углу: 12,03 Вольт. Все верно.
Замеряем силу тока. Как правильно замерить силу тока в цепи, можно узнать, прочитав статью как измерить ток и напряжение мультиметром?.
Получили 1,72 Ампер. А как вы помните, наше расчетное значение было 1,75 Ампер. Думаю, вину можно переложить на погрешность прибора или на лампочку
Среднеквадратичное значение — Root mean square
В математике и ее приложениях среднеквадратичное значение (RMS или rms ) определяется как квадратный корень из среднего квадрата (среднее арифметическое из квадраты из набора чисел). Среднеквадратичное значение также известно как среднее квадратичное и является частным случаем обобщенного среднего с показателем 2. Среднеквадратичное значение также может быть определено для непрерывно меняющейся функции в терминах интеграла квадратов мгновенных значений в течение цикла.
Для переменного электрического тока среднеквадратичное значение равно значению постоянного тока, которое привело бы к такому же среднему рассеиванию мощности в резистивной нагрузке.
В теории оценки, среднеквадратическое отклонение оценщика является мерой несовершенства соответствия оценщика данным.
Содержание
- 1 Определение
- 2 Общие формы сигналов
- 2.1 Комбинации сигналов
- 3.1 В электротехнике
- 3.1.1 Напряжение
- 3.1.2 Среднее электрическое мощность
Определение
Среднеквадратичное значение набора значений (или непрерывное время сигнал ) — это квадратный корень из среднего арифметического квадратов значений или квадрата функция, определяющая непрерывную форму волны. В физике среднеквадратичное значение тока также можно определить как «значение постоянного тока, который рассеивает ту же мощность в резисторе».
В случае набора из n значений , x_ , \ dots, x_ \>> , RMS составляет
x RMS = 1 n (x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + xn 2). > = > \ left (x_ ^ + x_ ^ + \ cdots + x_ ^ \ right)>>.>
Соответствующая формула для непрерывной функции (или формы сигнала) f (t), определенной в интервале T 1 ≤ t ≤ T 2 \ leq t \ leq T_ > равно
и среднеквадратичное значение для функции за все время равно
Среднеквадратичное значение за все время периодической функции равно среднеквадратичному значению одного периода функции. Среднеквадратичное значение непрерывной функции или сигнала можно приблизительно оценить, взяв среднеквадратичное значение выборки, состоящей из равноудаленных наблюдений. Кроме того, среднеквадратичное значение различных форм сигналов также может быть определено без исчисления, как показано Картрайтом.
В случае среднеквадратичной статистики случайного процесса, ожидаемое значение используется вместо среднего.
Распространенные формы сигналов
Синус, квадрат, треугольник и пилообразная формы сигналов. Прямоугольная импульсная волна рабочего цикла D — отношение длительности импульса ( τ ) к периоду (T); здесь показано с a = 1. График зависимости напряжения синусоидальной волны от времени (в градусах), показывающий среднеквадратичное, пиковое (PK) и размах (PP) напряжения.
Если форма волны представляет собой чистый синусоидальный сигнал, отношения между амплитудами (размахом, пиком) и среднеквадратичным значением фиксированы и известны, как и для любого непрерывного периодического волна. Однако это неверно для сигнала произвольной формы, который не может быть периодическим или непрерывным. Для синусоидальной волны с нулевым средним соотношение между среднеквадратичным значением и размахом амплитуды составляет:
размах = 2 2 × RMS ≈ 2,8 × RMS. > \ times > \ примерно 2,8 \ times >.>
Для других сигналов отношения не такие, как они предназначены для синусоидальных волн. Например, для треугольной или пилообразной волны
размах = 2 3 × RMS ≈ 3,5 × RMS. > \ times > \ примерно 3,5 \ times >.>
Форма волны Переменные и операторы RMS DC y = A 0 \,> A 0 \,> Синусоидальная волна y = A 1 грех (2 π ft) \ sin (2 \ pi ft) \,> A 1 2 >>> Прямоугольная волна y = A_ \ operatorname (ft) 0,5 \ end >> A 1 \,> прямоугольная волна со смещением постоянного тока y = A 0 + + A_ \ operatorname (ft) 0,5 \ end >> A 0 2 + A 1 2 + A_ ^ >> \,> Модифицированная синусоида y = 0 \ operatorname (ft) 0,75 \ end >> A 1 2 >>> Волна треугольника y = | 2 A 1 гидроразрыв (f t) — A 1 | \ operatorname (ft) -A_ \ right |> A 1 3 \ over >> Пилообразная волна y = 2 A 1 frac (футы) — A 1 \ operatorname (ft) -A_ \,> A 1 3 \ over >> Пульсовая волна y = A_ \ operatorname (ft) D \ end >> A 1 D > > Междуфазное напряжение y = A 1 sin (t) — A 1 sin (t — 2 π 3) \ sin (t) -A_ \ sin \ left (t — > \ right) \,> A 1 3 2 >>> где: y — смещение, t — время, f — частота, Ai- амплитуда (пиковое значение), D — рабочий цикл или про часть периода времени (1 / f), проведенная на высоком уровне, frac (r) — это дробная часть r. В комбинациях сигналов
Созданные формы сигналов путем суммирования известных простых сигналов имеют среднеквадратичное значение, которое является корнем из суммы квадратов значений компонентных среднеквадратичных значений, если формы сигналов компонентов являются ортогональными (то есть, если среднее значение произведения одного простого сигнала с другим — ноль для всех пар, кроме самого сигнала).
В качестве альтернативы, для сигналов, которые полностью положительно коррелированы или «синфазны» друг с другом, их среднеквадратичные значения суммируются напрямую.
Использует
В электротехнике
Напряжение
Частным случаем среднеквадратичного значения комбинаций сигналов является:
где RMS DC > _ >> относится к постоянному току или среднему компоненту сигнала и среднеквадратичному значению переменного тока > _ > — это компонент переменного тока сигнала.
Средняя электрическая мощность
Инженерам-электрикам часто требуется знать мощность, P, рассеиваемую на электрическом сопротивлении, R. Легко выполнить расчет при наличии постоянного тока, I через сопротивление. Для нагрузки R Ом мощность определяется просто как:
Однако, если ток является изменяющейся во времени функцией I (t), эту формулу необходимо расширить, чтобы отразить тот факт, что ток (и, следовательно, мгновенное мощность) меняется со временем. Если функция является периодической (например, бытовая мощность переменного тока), все еще имеет смысл обсудить среднюю мощность, рассеиваемую с течением времени, которая рассчитывается путем взятия средней рассеиваемой мощности:
P av = (I (t) 2 R) av, где (⋯) av обозначает временное среднее значение функции = (I (t) 2) av R (поскольку R не меняется со временем, его можно вычесть) = I RMS 2 R по определению среднеквадратичного — квадрат R \ right) _ > \ left (\ cdots \ right) _ > \\ [3pt] = \ left (I (t) ^ \ right) _ R > R > \\ [3pt] = I _ > ^ R > \ end >>
Итак, среднеквадратичное значение, I RMS, функции I (t) — это постоянный ток, который дает такое же рассеивание мощности, что и время -средняя мощность рассеивания тока I (t).
Среднюю мощность также можно найти, используя тот же метод, что и в случае изменяющегося во времени напряжения, V (t), со среднеквадратичным значением V RMS,
Это уравнение можно использовать для любого периодического сигнала , например, синусоидальный или пилообразный сигнал, позволяющий рассчитать среднюю мощность, подаваемую на заданную нагрузку.
Путем извлечения квадратного корня из обоих этих уравнений и их умножения получается мощность:
Оба значения зависят от пропорциональности напряжения и тока (т. е. нагрузки R, является чисто резистивным). Реактивные нагрузки (то есть нагрузки, способные не только рассеивать энергию, но и накапливать ее) обсуждаются в разделе Питание переменного тока.
В общем случае переменный ток когда I (t) — это синусоидальный ток, что приблизительно верно для сетевого питания, среднеквадратичное значение легко вычислить из уравнения для непрерывного случая, приведенного выше. Если I p определяется как пиковый ток, тогда:
I RMS = 1 T 2 — T 1 ∫ T 1 T 2 [I p sin (ω t)] 2 dt, > = -T_ >> \ int _ > ^ > \ left [ I _ \ sin (\ omega t) \ right] ^ dt>>,>
где t — время, а ω — угловая частота (ω = 2π / T, где T — период волны).
Поскольку I p является положительной константой:
Использование тригонометрического тождества для исключения возведения в квадрат функции триггера:
, но поскольку интервал представляет собой целое число полных циклов (согласно определению RMS), термин sin будет отменено, оставив:
I RMS = I p 1 T 2 — T 1 [t 2] T 1 T 2 = I p 1 T 2 — T 1 T 2 — T 1 2 = I p 2. > = I _ -T_ >> \ left [ \ справа] _ > ^ >>> = I _ -T_ >> -T_ > \ over 2>>> = \ over >>.>
Аналогичный анализ приводит к аналогичному уравнению для синусоидального напряжение:
где I P представляет пиковый ток, а V P представляет пиковое напряжение.
Из-за их полезности при расчете мощности перечисленные напряжения для электрических розеток (например, 120 В в США или 230 В в Европе) почти всегда указываются в среднеквадратических значениях., а не пиковые значения. Пиковые значения могут быть рассчитаны из значений RMS по приведенной выше формуле, которая подразумевает V P = V RMS × √2, предполагая, что источником является чисто синусоидальная волна. Таким образом, пиковое значение сетевого напряжения в США составляет около 120 × √2, или около 170 вольт. Размах напряжения, увеличенный вдвое, составляет около 340 вольт. Аналогичный расчет показывает, что пиковое напряжение сети в Европе составляет около 325 вольт, а максимальное напряжение сети — около 650 вольт.
Среднеквадратичные величины, такие как электрический ток, обычно рассчитываются за один цикл. Однако для некоторых целей при расчете потерь мощности при передаче требуется среднеквадратичный ток за более длительный период. Применяется тот же принцип, и (например) ток 10 ампер, используемый в течение 12 часов каждый 24-часовой день, представляет средний ток 5 ампер, но среднеквадратичный ток 7,07 ампера в долгосрочной перспективе.
Термин RMS-мощность иногда ошибочно используется в аудиоиндустрии как синоним средней мощности или средней мощности (она пропорциональна квадрату RMS-напряжения или RMS-тока в резистивной нагрузке). Для обсуждения измерений мощности звука и их недостатков см. Мощность звука.
Скорость
В физике молекул газа, Среднеквадратичная скорость определяется как квадратный корень из среднего квадрата скорости. Среднеквадратичная скорость идеального газа вычисляется с использованием следующего уравнения:
где R представляет собой газовую постоянную, 8,314 Дж / (моль · K), T представляет собой температуру газа в кельвинах, а M представляет собой молярный масса газа в килограммах на моль. Общепринятая терминология для обозначения скорости по сравнению со скоростью состоит в том, что первая является скалярной величиной последней. Следовательно, хотя средняя скорость находится между нулем и среднеквадратичной скоростью, средняя скорость для неподвижного газа равна нулю.
Ошибка
Когда сравниваются два набора данных — например, один набор из теоретического прогноза, а другой из фактического измерения какой-либо физической переменной, RMS парных разностей двух данных наборы могут служить мерой того, насколько далеко в среднем ошибка от нуля. среднее парных разностей не измеряет изменчивость разницы, а изменчивость, на что указывает стандартное отклонение около среднего, а не 0. Следовательно, среднеквадратичное значение различий является значимой мерой ошибки.
В частотной области
Среднеквадратичное значение может быть вычислено в частотной области, используя теорему Парсеваля. Для дискретизированного сигнала x [n] = x (t = n T) , где T — период выборки,
∑ n = 1 N x 2 [n] = 1 N ∑ m = 1 N | X [м] | 2, ^ [n]> = > \ sum _ ^ \ left | X [m] \ right | ^ ,>
где X [m] = FFT \ > и N — размер выборки, то есть количество наблюдений в выборке и коэффициенты БПФ.
В этом случае RMS, вычисленное во временной области, такое же, как и в частотной области:
Связь с другой статистикой
Геометрический доказательство без слов, что max (a, b)>среднее квадратичное или среднеквадратичное (QM)>среднее арифметическое (AM)>геометрическое среднее (GM)>гармоническое среднее (HM)>min (a, b) двух положительных чисел a и b
Из этого ясно, что среднеквадратичное значение всегда больше или равно среднему, поскольку среднеквадратичное значение также включает «ошибку» / квадратное отклонение.
Ученые-физики часто используют термин «среднеквадратичный» как синоним для стандартного отклонения, когда можно предположить, что входной сигнал имеет нулевое среднее значение, то есть относится к квадратному корню из среднего квадратичное отклонение сигнала от заданной базовой линии или соответствия. Это полезно для инженеров-электриков при вычислении RMS сигнала «только переменный ток». Стандартное отклонение, представляющее собой среднеквадратичное отклонение сигнала от среднего, а не около 0, составляющая постоянного тока удаляется (то есть RMS (сигнал) = stdev (сигнал), если средний сигнал равен 0).
Среднеквадратичное значение тока
Изучите соотношение среднеквадратичного напряжения и тока – формула и как найти. Читайте определение среднеквадратичного значения, применение, уравнения.
Среднеквадратичное напряжение или ток – усредненное по времени напряжение или ток в системе переменного тока.
Задача обучения
- Соотнести среднеквадратичное напряжение и ток в переменном круге с пиковым напряжением, током и средней мощностью.
Основные пункты
- Постоянный ток и напряжение выступают стабильными понятиями, но переменные ток и напряжение способны меняться со временем.
- Среднеквадратичное значение (СКЗ) – статическая мера переменной величины. Ее используют для выражения среднего тока или напряжения в системе с переменным током.
- СКЗ тока и напряжения – пиковый ток и напряжение над квадратным корнем из двух.
- Средняя мощность в цепи переменного тока отображает результат СКЗ и напряжения.
Термин
- Среднеквадратичное значение – квадратный корень среднего арифметического квадратов.
- Среднеквадратичный ток – средний квадрат тока: IСКЗ = I0/√2, где I0 – пиковый.
- Среднеквадратичное напряжение – средний квадрат напряжения: VСКЗ = V0/√2, где V0 – пиковое напряжение).
Среднеквадратичное значение и переменный ток
В ситуациях с переменным током поток электрического заряда периодически меняет направление. Если в постоянном ток и напряжение остаются стабильными, то здесь они меняются со временем. Этот вариант используют по большей части в быту. Иногда возникает необходимость узнать усредненный по времени показатель тока или напряжения. Для этого можно взять средний квадрат корня со временем.
Определение
Среднеквадратичное значение (СКЗ) – статическая мера переменной величины. Это полезно, если функция чередует положительные и отрицательные показатели (синусоиды). Перед нами квадратный корень из среднего арифметического квадратов. В случае набора значений n (x1, x2, . xn) СКЗ определяется по формуле:
Соответствующая формула для непрерывной функции f (t), вычисленной на интервале T1 ≤ t ≤ T2:
Среднеквадратичное значение тока для функции в течение всего времени:
Среднеквадратичное значение напряжения за время периодической функции приравнивается к СКЗ одного периода.
Применение к напряжению и току
Давайте взглянем на синусоидально меняющееся напряжение:
(а) – Постоянное напряжение и ток остаются стабильными. (b) – График напряжения и тока в зависимости от времени для мощности переменного тока в 60 Гц. Напряжение и ток выступают синусоидальными и расположены в фазе для простой схемы сопротивления. Частоты и пиковые напряжения сильно отличаются
V = V0sin (2πft), где V – напряжение в момент времени, V0 – пиковое напряжение, f – частота в Гц. Для этой простой схемы сопротивления I = V/R, поэтому ток переменного выглядит как:
I = I0sin (2πft), где I – ток в момент времени, а I0 = V0/R – пиковый ток. Теперь, используя вышеприведенное определение, выведем среднеквадратичные напряжение и ток. Прежде всего, у нас есть
Здесь мы заменили 2πf на ω. Поскольку V0 выступает постоянной, можно разложить ее из квадратного корня и использовать тригонометрическую формулу для замены квадрата синусоидальной функции.
Поскольку интервал отображает целое число полных циклов, члены отменяются, оставляя:
Вы также поймете, что СКЗ можно выразить через
Обновленное уравнение контура
Многие из выведенных уравнений относятся к переменному току. Если нам нужно получить усредненный по времени результат, то соответствующие переменные выражаются в СКЗ. К примеру, закон Ома передается как
Различные выражения для мощности переменного тока выглядят как:
Отсюда видно, что можно вывести среднюю мощность, основываясь на пиковом напряжении и токе.
Мощность переменного тока, основываясь на времени. Напряжение и ток пребывают в фазе, а их продукт колеблется между нулем и I0V0. Средняя мощность – (1/2) I0V0
СКЗ полезны, если напряжение меняется по форме сигнала, отличающегося от синусоидов (квадратные, треугольные или пилообразные волны).
Что такое действующее, среднеквадратичное, эффективное напряжение или ток
Говоря о величине, изменяющейся по синусоидальному (гармоническому) закону, можно за половину периода определить ее среднее значение. Поскольку ток в сети у нас в подавляющем большинстве случаев синусоидальный, то для этого тока также легко может быть найдена средняя его величина (за половину периода), достаточно прибегнуть к операции интегрирования, установив пределы от 0 до Т/2. В результате получим:
Подставив Пи = 3,14, найдем среднюю, за половину периода, величину синусоидального тока в зависимости от его амплитуды. Аналогичным образом находится среднее значение синусоидальной ЭДС или синусоидального напряжения U:
Действующее значение тока I или напряжения U
Однако среднее значение не так широко применяется на практике, как действующее значение синусоидального тока или напряжения. Действующее значение синусоидально меняющейся во времени величины — есть среднеквадратичное, другими словами — эффективное ее значение.
Эффективное (или действующее) значение тока или напряжения находится так же, путем интегрирования, но уже по отношению к квадратам, и с последующим извлечением квадратного корня, причем пределы интегрирования теперь — целый период синусоидальной функции.
Итак, для тока будем иметь:
Подставив значение корня из 2, получим формулу для нахождения эффективного (действующего, среднеквадратичного) значения тока, напряжения, ЭДС — по отношению к амплитудному значению. Эту формулу можно встретить очень часто, ее используют всюду в расчетах, связанных с цепями переменного синусоидального тока:
С практической точки зрения, если сравнить тепловое действие тока переменного синусоидального с тепловым действием тока постоянного непрерывного, на протяжении одного и того же периода времени, на одной и той же активной нагрузке, то выяснится, что выделенная за период синусоидального переменного тока теплота окажется равна выделенной за это же время теплоте от тока постоянного, при условии, что величина постоянного тока будет меньше амплитуды тока переменного в корень из 2 раз:
Это значит, что действующее (эффективное, среднеквадратичное) значение синусоидального переменного тока численно равно такому значению постоянного тока, при котором тепловое действие (выделяемое количество теплоты) этого постоянного тока на активном сопротивлении за один период синусоиды равно тепловому действию данного синусоидального тока за тот же период.
Аналогичным образом находится действующее (эффективное, среднеквадратичное) значение синусоидального напряжения или синусоидальной ЭДС.
Подавляющее большинство современных портативных измерительных приборов, измеряя переменный ток или переменное напряжение, показывают именно действующее значение измеряемой величины, то есть среднеквадратичную величину, а не ее амплитуду и не среднее значение за полпериода.
Если других уточняющих настроек на приборе нет, а стоит значок
U – измерены будут действующие значения тока и напряжения. Обозначения для конкретно амплитуды или конкретно действующего — Im (m — maximum – максимум, амплитуда) или Irms (rms — Root Mean Square – среднеквадратичное значение).
Надеюсь, что эта статья была для вас полезной. Смотрите также другие статьи в категории Электрическая энергия в быту и на производстве » В помощь начинающим электрикам