МЕТОДЫ АНАЛИЗА СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ
В большинстве измерительных задач исследуемый процесс и его параметры изменяются как случайные функции времени, и, следовательно, входной сигнал x(t) средства измерения в общем случае является случайным сигналом. Если для детерминированного сигнала можно заранее определить значения в заданные моменты времени, то для случайного это является невыполнимым. Для такого сигнала можно заранее лишь указать, с какой вероятностью он будет иметь то или иное значение. Случайный сигнал полностью характеризуется бесконечным множеством выборочных функций, которые образуют ансамбль реализаций. В случае если эти реализации происходили одновременно и если в заданный момент времени определить мгновенные значения всех выборочных функций случайного сигнала (процесса), то их совокупность называют сечением случайного процесса (рис. 8.1).
Сечение характеризуется функцией распределения вероятности, плотностью вероятности и другими статистическими характеристиками.
Функция распределения вероятности в сечении tb или интегральный закон распределения, при достаточно большом числе N выборочных функций выражается как вероятность того, что значения, которые принимает случайный сигнал в разных выборочных функциях, лежат левее заданного (например, значениях^:
Плотность вероятности в сечении для значения х<, или одномерный дифференциальный закон распределения, определяется как
т.е. как вероятность нахождения случайного значения сигнала в интервале (xl5 X! + Ах) при бесконечно малом значении этого интервала.
Рис. 8.1. Выборочные реализации случайного процесса (сигнала)
Важной характеристикой сечения случайного процесса в момент времени tl при усреднении по ансамблю является среднее значение случайного процесса (начальный момент первого порядка, математическое ожидание):
где к — номер реализации; N — число реализаций.
Центральным моментом второго порядка является дисперсия, характеризующая квадрат разброса значений к-х реализаций случайного процесса в текущем сечении вокруг математического ожидания:
Поскольку размерность дисперсии имеет квадрат размерности самих значений случайного сигнала, то наиболее удобной является характеристика, называемая средним квадратическим отклонением, имеющая ту же размерность, что и сами значения случайного сигнала:
Для характеристики статистической временной зависимости случайного сигнала применяют автокорреляционную функцию (смешанный момент)
В общем случае, если среднее значение случайного сигнала Mx(tt) и автокорреляционная функция Kx(th + т) изменяются с изменением момента времени th то такой случайный сигнал относится к нестационарным.
Случайный нестационарный сигнал x(t) полностью характеризуется многомерным законом распределения
Для детального исследования нестационарных случайных сигналов, все моменты которых являются функциями времени, необходимо очень большое число реализаций, что технически трудно реализуемо.
Стационарным называется случайный сигнал, у которого «-мерная плотность вероятности зависит не от моментов времени, а только от интервалов. Среднее значение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение стационарных сигналов постоянны и не зависят от времени: Mx(t) = Мх = const; Dx(t) = Dx = const; ax(t) = = ox = const.
Для проверки физического сигнала на стационарность всю /-ю реализацию сигнала разбивают на h участки (длительность каждого из них должна превышать период низкочастотной составляющей) и для каждого h участка определяют среднее значение Mxi(h) по количеству значений x
На основании полученных данных для каждого h участка /-й реализации вычисляют отклонение среднего Mxi(h) от Mxicp
и среднеквадратическое отклонение ом в /-й реализации
где п — общее количество участков.
После этого проверяют выполнение критерия стационарности для каждой /-й реализации:
где адоп — заданное, допустимое значение.
Затем таким же образом производят проверку стационарности по отклонениям дисперсии (среднего квадратического отклонения) сигнала.
У эргодического случайного сигнала среднее значение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, определенные для каждой реализации путем усреднения по времени, совпадают с теми же характеристиками, определенными усреднением по количеству реализаций в одном сечении. А значения автокорреляционной функции не зависят от начала отсчета, а зависят только от интервала т. Свойствами эргодичности обычно обладают только стационарные физические случайные сигналы, которые исследуются средствами измерительной техники.
Случайный сигнал удовлетворяет условиям эргодичности в том случае, если его статистические характеристики, определяемые усреднением по ансамблю реализаций, могут быть получены временным усреднением по одной реализации. Поэтому эргодические стационарные сигналы являются наиболее удобными для исследования, так как их статистические параметры можно определить по одной реализации, обладающей достаточно большой протяженностью во времени. В большинстве практических случаев при исследовании случайных процессов располагают небольшим числом их реализаций, а иногда только одной реализацией.
Для одной реализации эргодического случайного сигнала х(/) среднее значение можно определить усреднением во времени:
Среднее значение нестационарного сигнала характеризует его постоянную составляющую в сечении. Среднее значение стационарного сигнала равно постоянной величине, а стационарного и эрго- дического сигнала, найденное путем временного усреднения одной реализации, — среднему значению по ансамблю реализаций.
Среднее значение квадрата стационарного и эргодического сигнала характеризует суммарную интенсивность данной реализации:
Среднеквадратическое значение стационарного и эргодического сигнала равно корню квадратному из среднего значения квадрата:
Стационарный и эргодический случайный сигнал удобно представлять состоящим из двух составляющих — постоянной и переменной. Первая равна среднему значению сигнала Мх, а вторая оценивается дисперсией Dx, характеризующей рассеяние сигнала по отношению к среднему значению, и равна среднему значению квадрата отклонения сигнала от его среднего значения:
Часто для расчета дисперсии применяют следующее выражение:
Следовательно, дисперсия стационарного и эргодического сигнала равна разности между средним значением квадрата и квадратом среднего значения и характеризуется постоянным числом.
Среднеквадратическое отклонение сигнала равно
Плотность распределения случайного эргодического стационарного сигнала, или дифференциальный закон распределения р(х),
характеризует вероятность того, что мгновенные значения сигнала в произвольный момент времени будут находиться в заданном интервале значений. Для одной реализации случайного сигнала x(t) (рис. 8.2) вероятность нахождения сигнала в интервале значений (х, х + Ах) можно определить, вычисляя отношение Тх/Т, где
Тх = 2>,. — суммарное время нахождения сигнала х(/) в интервале
между значениями х и х + Ах в течение времени ТТ — продолжительность наблюдения реализации х(/):
Рис. 8.2. Графическая иллюстрация определения плотности вероятности распределения случайного сигнала по одной реализации
Тогда плотность распределения сигнала равна
Одномерная плотность распределения р(х) не содержит координаты времени и не отражает зависимости значений сигнала при изменении времени. Плотность распределения сигнала — действительная неотрицательная функция и для стационарного эргодиче- ского сигнала может быть определена по одной реализации. Через плотность распределения удобно выражается среднее значение случайного стационарного эргодического сигнала
и среднее значение его квадрата
Функция распределения (интегральный закон распределения) F(x) для эргодического стационарного сигнала равна вероятности того, что сигнал х(0 не превосходит заданного значения х>:
Функция распределения F(x) изменяется от 0 до 1, так как вероятность того, что х(0 |ЛД(т)| при любых т и Кх (—т) = |^х(т)|.
Значение автокорреляционной функции при временном нулевом сдвиге т = 0 равно среднему значению квадрата сигнала:
Значение автокорреляционной функции при временном сдвиге х = оо равно квадрату среднего значения сигнала Кх <°о)= (Мх) 2 (за исключением некоторых особых случаев, например гармонического сигнала).
Условие эргодичности иногда выражают следующей формулой:
Степень эргодичности данного случайного сигнала оценивают по его автокорреляционной функции согласно следующему неравенству:
где тмакс — максимальный интервал корреляции; ?доп — заданное, допустимое значение.
Коэффициентом корреляции (нормированной автокорреляционной функцией) кх<т) называют отношение
Нормированная корреляционная функция позволяет наиболее полноценно установить динамику развития случайного сигнала. При т = О нормированная корреляционная функция равна единице. Это означает, что в нулевом сечении случайный сигнал полностью повторяет сам себя. Далее, по мере отдаления от нулевого сечения на величину т значения случайного сигнала будут отличаться от его значений в нулевом сечении. Если случайный сигнал будет обладать свойством периодичности (например, гармонический сигнал), то нормированная корреляционная функция будет стремиться к своему максимальному значению, равному единице, в этих периодах. То есть нормированная корреляционная функция также будет периодической (гармонической в случае гармонического сигнала).
Центрированная автокорреляционная функция эргодического стационарного сигнала выражается как
Значение центрированной автокорреляционной функции при временном нулевом сдвиге т = 0 равно значению дисперсии сигнала:
Нормированную автокорреляционную функцию можно выразить также и через центрированную автокорреляционную функцию:
При анализе двух случайных сигналов используется взаимнокорреляционная функция. В отличие от автокорреляционной функции взаимнокорреляционная функция определяет степень схожести копий двух различных сигналов x(t) и y(t), сдвинутых на время т друг относительно друга:
Значение т, при котором взаимнокорреляционная функция принимает максимум, соответствует запаздыванию на время т сигнала y(t) по отношению к сигналу х(/).
При т = 0 взаимнокорреляционная функция принимает значение, равное взаимной энергии сигналов, т.е. энергии их взаимодействия:
Изменение знака временного сдвига для взаимнокорреляционной функции равносильно взаимной перестановке сигналов: Кху(-т) = Кух(т). С ростом х взаимнокорреляционная функция хотя и не монотонно, но убывает до нуля: lim К (т) = 0. Значение взаим-
нокорреляционной функции в нуле Л/ДО) ничем не выделяется среди других значений. Для периодических сигналов понятие взаимнокорреляционной функции, как правило, вообще не используется.
Спектральные характеристики сигнала описывают его частотную структуру. Реализация случайного процесса, как и любой непериодический сигнал, может быть представлена в виде комплексного спектра напряжения с помощью прямого преобразования Фурье:
или, переходя от циклической частоты со к частоте / = —, анало-
гично можно записать:
Однако этот спектр также является случайной функцией, поэтому не информативен и требует последующей статистической обработки.
Модуль |*SXiO|, который называется спектром сигнала, определяют с помощью анализаторов гармоник спектра. При этом определяется текущий спектр S(jf, /), который является случайной функцией, определенной только для положительных значений времени:
Важнейшей энергетической характеристикой является спектральная плотность среднего значения квадрата сигнала, или спектральная плотность мощности сигнала:
где Мх2 (/, ДО — среднее значение квадрата сигнала в интервале частот от/до / + A/:
где x(t,f, ДО — составляющая сигнала x(t), которая имеет частоты в интервале от/до / + Д/
М 2(/, А/) можно получить, пропуская сигнал через полосовой фильтр с граничными частотами/ и / + А/ — с дальнейшим возведением в квадрат сигнала на выходе полосового фильтра и последующим его усреднением.
Спектральная плотность мощности сигнала может быть получена из автокорреляционной функции Кх(т) прямым преобразованием Фурье:
или, принимая во внимание, что автокорреляционная функция является четной,
Спектральная плотность мощности сигнала обладает следующими свойствами:
• является действительной и неотрицательной функцией. При ограниченной дисперсии случайного сигнала
• среднее значение сигнала можно выразить через спектральную плотность мощности с помощью дельта-функции:
• интеграл от спектральной плотности мощности случайного сигнала равен среднему значению его квадрата
Таким образом, среднее значение квадрата сигнала равно суммарной площади под кривой спектральной плотности как функции частоты, т.е. имеет место равенство мощностей сигнала во временной и частотной областях.
где K(f) — частотная характеристика звена.
Следовательно, если известны или измерены любые две из трех функций Gx
Спектральная плотность мощности сигнала дает возможность прежде всего установить его частотную структуру и доминирующую частотную область. Спектральная плотность мощности сигнала, кроме этого, так же как и плотность вероятности и автокорреляционная функция, используется для идентификации исследуемых сигналов. С ее помощью можно установить, является ли данный сигнал гармоническим или случайным.
Проведем анализ структуры сигнала по графическим моделям его характеристик на примере четырех сигналов: гармонического (рис. 8.3, а), суммы гармонического и случайного (рис. 8.4, а), узкополосного (рис. 8.5, а) и широкополосного случайного сигнала (рис. 8.6, а). Гармонический сигнал в данном случае рассматривается как случайный, поскольку предполагается, что фаза его является случайной величиной.
Для гармонического сигнала х(/) со случайной фазой:
- • графическая модель плотности распределения представляется чашеобразной симметричной кривой (рис. 8.3, б)
- • автокорреляционная функция Кх(т) является гармонической функцией — косинусоидой (рис. 8.3, в):
с частотой/0, равной частоте гармонического сигнала;
• энергетический спектр гармонического сигнала с частотой /0 представляется дельта-функцией при/=/0 (рис. 8.3, г) и определяется по формуле
где 5(/ — /о) — дельта-функция на частотной оси.
Для суммы гармонического x(t) и случайного шумового сигналов:
• графическая модель (рис. 8.4, б) имеет характерные особенности плотностей распределения их обоих — как гармонического, так
Рис. 8.3. Гармонический сигнал
Рис. 8.4. Сумма гармонического и случайного сигналов и случайного сигналов, что позволяет по виду плотности распределения определить состав данного исследуемого сигнала;
Среднеквадратичное значение
В зарубежной терминологии применяется аббревиатура RMS (rms) — root mean square.
В математике для набора чисел x1, x2, . xn количеством n среднеквадратичное значение (rms) определяется выражением:
Например, для чисел 2,3 и 6 среднеквадратичным значением будет квадратный корень из (2²+3²+6²)/3. √(49/3) = 4.04
Среднеквадратичным значением двух или нескольких чисел является квадратный корень из среднеарифметического значения квадратов этих чисел.
Для любой непрерывной функции в интервале T1 — T2 среднеквадратичное значение можно рассчитать по формуле:
Среднеквадратичное значение применяется в расчётах, где существует пропорциональная зависимость не самих переменных значений, а их квадратов.
Действующее значение напряжения и тока
В качестве примера можно рассмотреть квадратичную зависимость мощности или работы электрического тока от значений тока или напряжения.
Величина постоянного напряжения или тока является его среднеквадратичным значением.
Среднеквадратичное значение переменного тока равно величине постоянного тока, действие которого произведёт такую же работу в активной (резистивной) нагрузке за время периода.
Определяющим фактором здесь является среднее (среднеарифметическое) значение мощности Pavg или работы Aavg, пропорциональное квадрату значения тока.
Так же среднеквадратичное значение переменного напряжения за период равносильно по своему воздействию на активную нагрузку такому же значению постоянного напряжения.
Среднеквадратичное значение переменного напряжения или тока часто называют действующим или эффективным.
Величину переменного напряжения или тока, в большинстве случаев, выражают его среднеквадратичным значением и измеряют приборами электромагнитного типа или специальными среднеквадратичными измерителями — True RMS.
Примечание:
Электромагнитные приборы используют для измерения переменного тока и напряжения в промышленных установках. Усилие, создаваемое измерительной катушкой в электромагнитном приборе, пропорционально квадрату тока, поэтому не меняется по направлению.
Угол отклонения стрелки определится некоторым средним усилием F, которое будет пропорционально среднеквадратичному значению тока.
Расчёт действующего значения
В качестве примера рассчитаем среднеквадратичное значение синусоидального напряжения.
Запишем выражение Urms с применением интеграла функции U = Uampsin(t) для одного периода 2π :
Показать расчёт
Вынесем Uamp из под знака радикала. Воспользуемся табличным интегралом 
, перепишем и решим последнее выражение с применением формулы Ньютона-Лейбница:
Так как sin(2π), sin(4π) и sin(0) равны нулю, вычисляем RMS синусоиды следующим образом:
В результате решения в итоге получим:
Расчёт RMS для напряжения или тока треугольной и пилообразной формы можно рассмотреть на примере одного периода T для функции 
, представленной на рисунке:
Выразим Urms искомой функции с помощью определённого интеграла:
Показать расчёт
Используя табличный интеграл 
и формулу Ньютона-Лейбница, получаем:
В итоге преобразований получим:
Ток или напряжение любой сложной формы можно рассмотреть, как набор функций в пределах периода. Тогда значением RMS будет квадратный корень из среднеарифметического значения интегралов для квадрата каждой функции, ограниченной её интервалом времени в периоде.
Например, для множества функций F1(t) , F2(t) , . , Fn(t) в соответствующих им интервалах времени (0 — T1), (T1 — T2), . (Tn — T), составляющих период T, действующее напряжение (RMS) определится выражением:
Для вариантов однополярного или двуполярного напряжения пилообразной и треугольной формы в периоде 2T или 4T, представленных на рисунке ниже, T и U amp имеют те же расчётные величины, что и в рассмотренном случае c функцией , а интегралы, определённые в интервалах, равных T, для квадратов используемых функций 
, будут иметь одно и то же значение 
Следовательно, вышеуказанные варианты однополярного или двуполярного напряжения пилообразной и треугольной формы будут иметь среднеквадратичное значение .
В заключении рассмотрим пример вычисления действующего значения положительных прямоугольных импульсов длительностью Ti .
Выразим Urms одного периода T, как квадратный корень из среднеарифметического значения интегралов, определённых в интервалах 0 — Ti и Ti — T для квадратов всех значений периода.
В результате получаем значение RMS, равное произведению амплитуды импульсов Uamp на квадратный корень из коэффициента заполнения (Ti / T).
В качестве дополнительного материала предлагаем рассмотреть расчёт средеквадратичного значения напряжения накала кинескопа цветного телевизора, исходя из амплитуды и формы напряжения.
Среднеквадратичное значение — Root mean square
В математике и ее приложениях среднеквадратичное значение (RMS или rms ) определяется как квадратный корень из среднего квадрата (среднее арифметическое из квадраты из набора чисел). Среднеквадратичное значение также известно как среднее квадратичное и является частным случаем обобщенного среднего с показателем 2. Среднеквадратичное значение также может быть определено для непрерывно меняющейся функции в терминах интеграла квадратов мгновенных значений в течение цикла.
Для переменного электрического тока среднеквадратичное значение равно значению постоянного тока, которое привело бы к такому же среднему рассеиванию мощности в резистивной нагрузке.
В теории оценки, среднеквадратическое отклонение оценщика является мерой несовершенства соответствия оценщика данным.
Содержание
- 1 Определение
- 2 Общие формы сигналов
- 2.1 Комбинации сигналов
- 3.1 В электротехнике
- 3.1.1 Напряжение
- 3.1.2 Среднее электрическое мощность
Определение
Среднеквадратичное значение набора значений (или непрерывное время сигнал ) — это квадратный корень из среднего арифметического квадратов значений или квадрата функция, определяющая непрерывную форму волны. В физике среднеквадратичное значение тока также можно определить как «значение постоянного тока, который рассеивает ту же мощность в резисторе».
В случае набора из n значений
<\ displaystyle \ , x_ <2>, \ dots, x_ \>> , RMS составляет x RMS = 1 n (x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + xn 2). <\ displaystyle x _ <\ text
> = <\ sqrt <<\ frac <1> > \ left (x_ <1>^ <2>+ x_ <2>^ <2>+ \ cdots + x_ ^ <2>\ right)>>.> Соответствующая формула для непрерывной функции (или формы сигнала) f (t), определенной в интервале T 1 ≤ t ≤ T 2 <\ displaystyle T_ <1>\ leq t \ leq T_ <2>> равно
и среднеквадратичное значение для функции за все время равно
Среднеквадратичное значение за все время периодической функции равно среднеквадратичному значению одного периода функции. Среднеквадратичное значение непрерывной функции или сигнала можно приблизительно оценить, взяв среднеквадратичное значение выборки, состоящей из равноудаленных наблюдений. Кроме того, среднеквадратичное значение различных форм сигналов также может быть определено без исчисления, как показано Картрайтом.
В случае среднеквадратичной статистики случайного процесса, ожидаемое значение используется вместо среднего.
Распространенные формы сигналов
Синус, квадрат, треугольник и пилообразная формы сигналов. Прямоугольная импульсная волна рабочего цикла D — отношение длительности импульса ( τ <\ displaystyle \ tau>) к периоду (T); здесь показано с a = 1. График зависимости напряжения синусоидальной волны от времени (в градусах), показывающий среднеквадратичное, пиковое (PK) и размах (PP) напряжения.
Если форма волны представляет собой чистый синусоидальный сигнал, отношения между амплитудами (размахом, пиком) и среднеквадратичным значением фиксированы и известны, как и для любого непрерывного периодического волна. Однако это неверно для сигнала произвольной формы, который не может быть периодическим или непрерывным. Для синусоидальной волны с нулевым средним соотношение между среднеквадратичным значением и размахом амплитуды составляет:
размах = 2 2 × RMS ≈ 2,8 × RMS. <\ displaystyle = 2 <\ sqrt <2>> \ times <\ text
> \ примерно 2,8 \ times <\ text >.> Для других сигналов отношения не такие, как они предназначены для синусоидальных волн. Например, для треугольной или пилообразной волны
размах = 2 3 × RMS ≈ 3,5 × RMS. <\ displaystyle = 2 <\ sqrt <3>> \ times <\ text
> \ примерно 3,5 \ times <\ text >.> Форма волны Переменные и операторы RMS DC y = A 0 <\ displaystyle y = A_ <0>\,> A 0 <\ displaystyle A_ <0>\,> Синусоидальная волна y = A 1 грех (2 π ft) <\ displaystyle y = A_ <1>\ sin (2 \ pi ft) \,> A 1 2 <\ displaystyle <\ frac > <\ sqrt < 2>>>> Прямоугольная волна y = A_ <1>\ operatorname (ft) 0,5 \ end >> A 1 <\ displaystyle A_ <1>\,> прямоугольная волна со смещением постоянного тока y = A 0 + + <\ begin A_ <1>\ operatorname (ft) 0,5 \ end >> A 0 2 + A 1 2 <\ displaystyle <\ sqrt ^ <2>+ A_ <1>^ <2>>> \,> Модифицированная синусоида y = <0 frac (фут) 0,75 <\ displaystyle y = <\ begin 0 \ operatorname (ft) 0,75 \ end >> A 1 2 <\ displaystyle <\ frac > <\ sqrt <2>>>> Волна треугольника y = | 2 A 1 гидроразрыв (f t) — A 1 | <\ displaystyle y = \ left | 2A_ <1>\ operatorname (ft) -A_ <1>\ right |> A 1 3 <\ displaystyle A_ <1>\ over <\ sqrt <3>>> Пилообразная волна y = 2 A 1 frac (футы) — A 1 <\ displaystyle y = 2A_ <1>\ operatorname (ft) -A_ <1>\,> A 1 3 <\ displaystyle A_ <1>\ over <\ sqrt <3>>> Пульсовая волна y = A_ <1>\ operatorname (ft) D \ end >> A 1 D <\ displaystyle A_ <1><\ sqrt > > Междуфазное напряжение y = A 1 sin (t) — A 1 sin (t — 2 π 3) <\ displaystyle y = A_ <1>\ sin (t) -A_ <1>\ sin \ left (t — <\ frac <2 \ pi><3>> \ right) \,> A 1 3 2 <\ displaystyle A_ <1> <\ sqrt <\ frac <3 ><2>>>> где: y — смещение, t — время, f — частота, Ai- амплитуда (пиковое значение), D — рабочий цикл или про часть периода времени (1 / f), проведенная на высоком уровне, frac (r) — это дробная часть r. В комбинациях сигналов
Созданные формы сигналов путем суммирования известных простых сигналов имеют среднеквадратичное значение, которое является корнем из суммы квадратов значений компонентных среднеквадратичных значений, если формы сигналов компонентов являются ортогональными (то есть, если среднее значение произведения одного простого сигнала с другим — ноль для всех пар, кроме самого сигнала).
В качестве альтернативы, для сигналов, которые полностью положительно коррелированы или «синфазны» друг с другом, их среднеквадратичные значения суммируются напрямую.
Использует
В электротехнике
Напряжение
Частным случаем среднеквадратичного значения комбинаций сигналов является:
где RMS DC <\ displaystyle <\ text
> _ <\ text >> относится к постоянному току или среднему компоненту сигнала и среднеквадратичному значению переменного тока <\ displaystyle <\ text > _ <\ text >> — это компонент переменного тока сигнала. Средняя электрическая мощность
Инженерам-электрикам часто требуется знать мощность, P, рассеиваемую на электрическом сопротивлении, R. Легко выполнить расчет при наличии постоянного тока, I через сопротивление. Для нагрузки R Ом мощность определяется просто как:
Однако, если ток является изменяющейся во времени функцией I (t), эту формулу необходимо расширить, чтобы отразить тот факт, что ток (и, следовательно, мгновенное мощность) меняется со временем. Если функция является периодической (например, бытовая мощность переменного тока), все еще имеет смысл обсудить среднюю мощность, рассеиваемую с течением времени, которая рассчитывается путем взятия средней рассеиваемой мощности:
P av = (I (t) 2 R) av, где (⋯) av обозначает временное среднее значение функции = (I (t) 2) av R (поскольку R не меняется со временем, его можно вычесть) = I RMS 2 R по определению среднеквадратичного — квадрат <\ displaystyle <\ begin
P_ = \ left (I (t) ^ <2>R \ right) _ <\ text > \ left (\ cdots \ right) _ <\ text <обозначает временное среднее значение функции>> \\ [3pt] = \ left (I (t) ^ <2>\ right) _ R <\ text <(как >> R <\ text <не меняется со временем, это можно вычесть)>> \\ [3pt] = I _ <\ text > ^ <2>R <\ text <по определению root- среднеквадратическое>> \ end >> Итак, среднеквадратичное значение, I RMS, функции I (t) — это постоянный ток, который дает такое же рассеивание мощности, что и время -средняя мощность рассеивания тока I (t).
Среднюю мощность также можно найти, используя тот же метод, что и в случае изменяющегося во времени напряжения, V (t), со среднеквадратичным значением V RMS,
Это уравнение можно использовать для любого периодического сигнала , например, синусоидальный или пилообразный сигнал, позволяющий рассчитать среднюю мощность, подаваемую на заданную нагрузку.
Путем извлечения квадратного корня из обоих этих уравнений и их умножения получается мощность:
Оба значения зависят от пропорциональности напряжения и тока (т. е. нагрузки R, является чисто резистивным). Реактивные нагрузки (то есть нагрузки, способные не только рассеивать энергию, но и накапливать ее) обсуждаются в разделе Питание переменного тока.
В общем случае переменный ток когда I (t) — это синусоидальный ток, что приблизительно верно для сетевого питания, среднеквадратичное значение легко вычислить из уравнения для непрерывного случая, приведенного выше. Если I p определяется как пиковый ток, тогда:
I RMS = 1 T 2 — T 1 ∫ T 1 T 2 [I p sin (ω t)] 2 dt, < \ displaystyle I _ <\ text
> = <\ sqrt <<1 \ over -T_ <1>>> \ int _ > ^ > \ left [ I _ <\ text > \ sin (\ omega t) \ right] ^ <2>dt>>,>
где t — время, а ω — угловая частота (ω = 2π / T, где T — период волны).
Поскольку I p является положительной константой:
Использование тригонометрического тождества для исключения возведения в квадрат функции триггера:
, но поскольку интервал представляет собой целое число полных циклов (согласно определению RMS), термин sin будет отменено, оставив:
I RMS = I p 1 T 2 — T 1 [t 2] T 1 T 2 = I p 1 T 2 — T 1 T 2 — T 1 2 = I p 2. <\ displaystyle I _ <\ text
> = I _ <\ text > <\ sqrt <<1 \ over
-T_ <1>>> \ left [ \ справа] _ > ^ >>> = I _ <\ text > <\ sqrt <<1 \ over
-T_ <1>>> < -T_ <1>> \ over 2>>> = > \ over <\ sqrt <2>>>.> Аналогичный анализ приводит к аналогичному уравнению для синусоидального напряжение:
где I P представляет пиковый ток, а V P представляет пиковое напряжение.
Из-за их полезности при расчете мощности перечисленные напряжения для электрических розеток (например, 120 В в США или 230 В в Европе) почти всегда указываются в среднеквадратических значениях., а не пиковые значения. Пиковые значения могут быть рассчитаны из значений RMS по приведенной выше формуле, которая подразумевает V P = V RMS × √2, предполагая, что источником является чисто синусоидальная волна. Таким образом, пиковое значение сетевого напряжения в США составляет около 120 × √2, или около 170 вольт. Размах напряжения, увеличенный вдвое, составляет около 340 вольт. Аналогичный расчет показывает, что пиковое напряжение сети в Европе составляет около 325 вольт, а максимальное напряжение сети — около 650 вольт.
Среднеквадратичные величины, такие как электрический ток, обычно рассчитываются за один цикл. Однако для некоторых целей при расчете потерь мощности при передаче требуется среднеквадратичный ток за более длительный период. Применяется тот же принцип, и (например) ток 10 ампер, используемый в течение 12 часов каждый 24-часовой день, представляет средний ток 5 ампер, но среднеквадратичный ток 7,07 ампера в долгосрочной перспективе.
Термин RMS-мощность иногда ошибочно используется в аудиоиндустрии как синоним средней мощности или средней мощности (она пропорциональна квадрату RMS-напряжения или RMS-тока в резистивной нагрузке). Для обсуждения измерений мощности звука и их недостатков см. Мощность звука.
Скорость
В физике молекул газа, Среднеквадратичная скорость определяется как квадратный корень из среднего квадрата скорости. Среднеквадратичная скорость идеального газа вычисляется с использованием следующего уравнения:
где R представляет собой газовую постоянную, 8,314 Дж / (моль · K), T представляет собой температуру газа в кельвинах, а M представляет собой молярный масса газа в килограммах на моль. Общепринятая терминология для обозначения скорости по сравнению со скоростью состоит в том, что первая является скалярной величиной последней. Следовательно, хотя средняя скорость находится между нулем и среднеквадратичной скоростью, средняя скорость для неподвижного газа равна нулю.
Ошибка
Когда сравниваются два набора данных — например, один набор из теоретического прогноза, а другой из фактического измерения какой-либо физической переменной, RMS парных разностей двух данных наборы могут служить мерой того, насколько далеко в среднем ошибка от нуля. среднее парных разностей не измеряет изменчивость разницы, а изменчивость, на что указывает стандартное отклонение около среднего, а не 0. Следовательно, среднеквадратичное значение различий является значимой мерой ошибки.
В частотной области
Среднеквадратичное значение может быть вычислено в частотной области, используя теорему Парсеваля. Для дискретизированного сигнала x [n] = x (t = n T) <\ displaystyle x [n] = x (t = nT)>, где T <\ displaystyle T >— период выборки,
∑ n = 1 N x 2 [n] = 1 N ∑ m = 1 N | X [м] | 2, <\ displaystyle \ sum _
^ [n]> = <\ frac <1> > \ sum _ ^ \ left | X [m] \ right | ^ <2>,> где X [m] = FFT
<\ displaystyle X [m] = \ operatorname \ > и N — размер выборки, то есть количество наблюдений в выборке и коэффициенты БПФ. В этом случае RMS, вычисленное во временной области, такое же, как и в частотной области:
Связь с другой статистикой
Геометрический доказательство без слов, что max (a, b)>среднее квадратичное или среднеквадратичное (QM)>среднее арифметическое (AM)>геометрическое среднее (GM)>гармоническое среднее (HM)>min (a, b) двух положительных чисел a и b
Из этого ясно, что среднеквадратичное значение всегда больше или равно среднему, поскольку среднеквадратичное значение также включает «ошибку» / квадратное отклонение.
Ученые-физики часто используют термин «среднеквадратичный» как синоним для стандартного отклонения, когда можно предположить, что входной сигнал имеет нулевое среднее значение, то есть относится к квадратному корню из среднего квадратичное отклонение сигнала от заданной базовой линии или соответствия. Это полезно для инженеров-электриков при вычислении RMS сигнала «только переменный ток». Стандартное отклонение, представляющее собой среднеквадратичное отклонение сигнала от среднего, а не около 0, составляющая постоянного тока удаляется (то есть RMS (сигнал) = stdev (сигнал), если средний сигнал равен 0).
Случайные сигналы и их характеристики
Случайный сигнал — это сигнал со случайным характером изменения во времени. (В общем случае – это измерительный сигнал). Для случайного сигнала невозможно определить значения в заданные моменты t. Для такого сигнала можно заранее узнать с какой вероятностью он будет иметь то или иное значение. Случайные сигналы разделяются на: нестационарные и стационарные; эргодические и неэргодические. Случайный сигнал полностью характеризуется бесконечным интервалом выборочных функций, который образует ансамбль.
Если в заданный момент времени определим мгновенные значения всех выборочных функций случайного процесса, то их совокупность называется сечением случайного процесса. Сечение характеризуется функцией распределения вероятности и плотностью вероятности (дифференциальный закон), а также другими статистическими характеристиками. Важными характеристиками случайного процесса в момент времени t1 при усреднении по ансамблю является среднее значение случайного процесса. Для характеристики статической временной зависимости случайного сигнала применяют автокорреляционную функцию (смешанный момент). Если среднее значение случайного сигнала М1 автокорреляционная функция Rx изменяется с изменением момента t — t1, то такой сигнал относится к нестационарным сигналам . Стационарным называется случайный сигнал, закон распределения которого не зависит от времени. Для стационарного сигнала среднее значение М1 и дисперсии постоянны и не зависят от времени. Большинство случайных стационарных физических сигналов обладает свойством эргодичности. Если статистические характеристики случайного стационарного сигнала определяются усреднением по ансамблю реализации и могут быть получены временным усреднением одной реализации, то такой случайный сигнал называется эргодическим. Условие эргодичности выражается следующим образом
Основные статистические параметры и характеристики случайных сигналов:
1. Плотность распределения Р(х).
2. Функция распределения .
3. Среднее значение по ансамблю и по данной к-ой реализации .
4. Среднее значение квадрата сигнала оно характеризует суммарную интенсивность данной реализации.
5. Среднеквадратическое значение сигнала .
Стационарные и эргодические случайные сигналы удобно характеризовать двумя составляющими постоянной и переменной. Первая равна среднему значению , а вторая оценивается дисперсией , которая характеризует рассеяние сигнала по отношению к среднему значению.