Электрическое поле движущихся зарядов
Для полной характеристики электрического поля, которое создают неподвижные заряды, достаточно задания скалярного потенциала . Если заряд движется, то появляется выделенное вектором скорости заряда направление в пространстве. Даже в случае точечного заряда сферическая симметрия поля нарушается. Для описания электрического поля в этом случае необходимо задавать еще одну величину, в которую должен входить вектор скорости, она называется векторным потенциалом . Получить ее из скалярного потенциала, учитывая только геометрию пространства, невозможно. Далее мы обоснуем введение векторного потенциала, используя СТО.
§ 10 Электрическое поле движущегося заряда
Рассмотрим взаимодействие двух точечных зарядов и в двух системах отсчета — и , вторая движется относительно первой со скоростью (рис.10.1). Пусть в системе отсчета заряды неподвижны.
Тогда в — системе отсчета энергия тела с зарядом равна:
Импульс этого тела в — системе отсчета равен нулю. Импульс же этого тела в — системе отсчета будет равен:
Теперь используем правила преобразования энергии и импульса релятивистской частицы при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую (Механика (38.7)):
Видно, энергия частицы с зарядом в — системе отсчета складывается из механической энергии релятивистской частицы и ее энергии в электрическом поле, которая равна:
Поскольку заряды тел – величины инвариантные, получаем скалярный потенциал в — системе отсчета:
Видно, что значение импульса заряженной частицы в — системе отсчета после формального преобразования не совпадает с импульсом не заряженной частицы.
Для того, чтобы избежать этого противоречия в релятивистской физике для заряженных частиц, определяют обобщенный импульс следующим образом:
где — обычный импульс релятивистской частицы, — заряд этой частицы, а новая физическая величина называется векторным потенциалом электрического поля в той точке пространства, где находится заряд (он создается другими движущимися зарядами). Векторный потенциал связан со скалярным потенциалом для поля, создаваемого одним зарядом, следующим образом:
В том случае, который мы рассматриваем, векторный потенциал в — системе отсчета равен нулю, а в — системе отсчета в той точке, где находится заряд , он равен
(подчеркнем, что он создается движущимся зарядом ). Тогда обобщенный импульс тела с зарядом будет равен:
Получили результат, совпадающий с тем, который дают формальные преобразования 4-импульса частицы при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую.
Итак, для заряженных частиц обобщаем понятие импульса и тогда правила преобразования обобщенного 4-импульса остаются теми же, что мы определили для незаряженных релятивистских частиц (Механика (38.7)).
Для описания же электрического поля движущегося заряда необходимо задавать скалярный потенциал и векторный потенциал .
Теперь определим, как меняется скалярный и векторный потенциал электрического поля при переходе из в систему отсчета (рис.10.2) в том случае, когда заряженные частицы движутся в обеих системах отсчета. На рисунке движущийся заряд показан в точке, электрическое поле в которой характеризуется скалярным потенциалом и векторным потенциалом в системе отсчета.
Итак, компоненты обобщенного 4-импульса заряженной частицы
преобразуются так же, как компоненты 4-радиус-вектора. Для энергии частицы с зарядом в системе отсчета получаем:
Поскольку для механической энергии справедливо соотношение (Механика (38.7)):
для преобразования потенциала получаем следующее правило:
Делая аналогичные преобразования для других компонент 4-вектора , можем получить правила преобразования векторного потенциала . Сделайте это самостоятельно и сравните с результатом, который мы получим, воспользовавшись определением (10.2) и правилами преобразования скоростей (Механика (35.2,35.3)). Для проекции получим:
В свою очередь для проекции получим:
Аналогичный результат получим и для проекции.
Видим, что скалярный потенциал и компоненты векторного потенциала преобразуются так же, как и компоненты 4-радиус-вектора. Поэтому скалярный и векторный потенциалы мы можем объединить в один 4-вектор, называемый 4-потенциалом электрического поля:
Выпишем еще раз правила преобразования компонент этого 4-потенциала при переходе из в систему отсчета, которая движется вдоль оси х со скоростью :
Как для скалярного, так и для векторного потенциала справедлив принцип суперпозиции, который обобщается и на 4-потенциал. Если электрическое поле создается точечными зарядами, то потенциал поля в любой точке пространства (за исключением тех, в которых находятся заряды) равен сумме потенциалов полей, созданных каждым зарядом в отдельности.
Для скалярного потенциала справедливо соотношение (4.3), а векторный потенциал будет равен:
где суммирование проводится по всем зарядам, создающим поле. В произвольной точке пространства соотношение (10.2) между скалярным и векторным потенциалом уже не выполняется, если поле создают несколько зарядов, а не один заряд.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
§ 113. Магнитное поле движущегося заряда
Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический же ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. В результате обобщения опытных данных
был установлен закон, определяющий поле В точечного заряда Q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью v. Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью. Этот закон выражается формулой
где r — радиус-вектор, проведенный от заряда Q к точке наблюдения М (рис. 168). Согласно выражению (113.1), вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы v и г, а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от v к г. Модуль магнитной индукции (113.1) вычисляется по формуле
где а — угол между векторами v и r.
Сравнивая выражения (110.1) и (113.1), видим, что движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока:
Idl=Qv.
Приведенные закономерности (113.1) и (113.2) справедливы лишь при малых скоростях (v<<c) движущихся зарядов, когда электрическое поле свободно движущегося заряда можно считать электростатическим, т. е. создаваемым неподвижным зарядом, находящимся в той точке, где в данный момент времени находится движущийся заряд.
Формула (113.1) определяет магнитную индукцию положительного заряда, движущегося со скоростью v. Если движется отрицательный заряд, то Q надо заменить на —Q. Скорость v — относи-
тельная скорость, т. е. скорость относительно наблюдателя. Вектор В в рассматриваемой системе отсчета зависит как от времени, так и от положения точки М наблюдения. Поэтому следует подчеркнуть относительный характер магнитного поля движущегося заряда.
Впервые поле движущегося заряда удалось обнаружить американскому физику Г. Роуланду (1848—1901). Окончательно этот факт был установлен профессором Московского университета А. А. Эйхенвальдом (1863—1944), изучившим магнитное поле конвекционного тока, а также магнитное поле связанных зарядов поляризованного диэлектрика. Магнитное поле свободно движущихся зарядов было измерено академиком А. Ф. Иоффе, доказавшим эквивалентность, в смысле возбуждения магнитного поля, электронного пучка и тока проводимости.
§114. Действие магнитного поля на движущийся заряд
Опыт показывает, что магнитное поле действует не только на проводники с током (см. §111), но и на отдельные заряды, движущиеся в магнитном поле. Сила, действующая на электрический заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью v, называется силой Лоренца и выражается формулой
F=Q[vB], (114.1) где В — индукция магнитного поля, в котором заряд движется.
Направление силы Лоренца определяется с помощью правила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора v (для Q> 0 направления I и v совпадают, для Q<0—противоположны), то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный заряд. На рис. 169 показана взаимная ориентация векторов v, В (поле направлено к нам, на рисунке показано точками) и F для положительного заряда. На отрицательный заряд сила действует в противоположном направлении.
Модуль силы Лоренца (см. (114.1)) равен
где — угол между v и В.
Отметим еще раз (см. § 109), что магнитное поле не действует на покоящийся электрический заряд. В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущиеся в нем заряды.
Так как по действию силы Лоренца можно определить модуль и направление вектора В, то выражение для силы Лоренца может быть использовано (наравне с другими, см. § 109) для определения вектора магнитной индукции В.
Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения заряженной частицы, поэтому она изменяет только направление этой скорости, не изменяя ее модуля. Следовательно, сила Лоренца работы не совершает. Иными словами, постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей и кинетическая энергия этой частицы при движении в магнитном поле не изменяется.
Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля с индукцией В действует и электрическое поле с напряженностью Е, то результирующая сила F, приложенная к заряду, равна векторной сумме сил — силы, действующей со стороны электрического поля, и силы Лоренца:
F=QE + Q[vB].
Это выражение называется формулой Лоренца. Скорость v в этой формуле есть скорость заряда относительно магнитного поля.
Движущийся электрический заряд создает какое поле?
То, что движущийся электрический заряд создает вокруг себя, является более сложным, чем то, что свойственно заряду, находящемуся в неподвижном состоянии. В эфире, где пространство не возмущено, заряды уравновешиваются. Поэтому он называется магнитно- и электрически нейтральным.
Рассмотрим более подробно поведение такого заряда отдельно, в сравнении с неподвижным, и подумаем о принципе Галилея, а вместе с тем и о теории Эйнштейна: насколько она состоятельна на самом деле?
Различие движущегося и неподвижного зарядов
Одиночный заряд, будучи неподвижным, создает электрическое поле, которое можно назвать результатом деформации эфира. А движущийся электрический заряд создает как электрическое, так и магнитное поле. Он обнаруживается только другим зарядом, то есть магнитом. Получается, что покоящийся и движущийся заряды в эфире не эквивалентны друг другу. При равномерном и прямолинейном движении заряд не будет излучать и не будет терять энергию. Но так как часть ее тратится на создание магнитного поля, то энергии у этого заряда станет меньше.
Пример для облегчения понимания
Это легче представить на примере. Если взять два одинаковых неподвижных заряда и расположить их далеко друг от друга, чтобы поля не могли взаимодействовать, один из них оставят как есть, а другой будут перемещать. Для первоначально неподвижного заряда потребуется ускорение, которое будет создавать магнитное поле. Часть энергии этого поля уйдет на электромагнитное излучение, направленное в бесконечное пространство, которое уже не вернется в качестве электродвижущей силы самоиндукции при остановке. С помощью другой части зарядной энергии будет создаваться постоянное магнитное поле (при условии постоянной скорости заряда). Это энергия деформации эфира. При равномерном движении магнитное поле сохранится в постоянном виде. Если при этом сравнить два заряда, то у движущегося будет наблюдаться меньшее количество энергии. Всему виной электромагнитное поле движущегося заряда, на которое ему приходится тратить энергию.
Таким образом, становится понятным, что в обоих зарядах состояние и энергия сильно отличаются. Электрическое поле действует на неподвижные и на движущиеся заряды. Но на последний влияет и магнитное поле. Поэтому и энергия, и потенциал у него меньше.
Движущиеся заряды и принцип Галилея
Состояние обоих зарядов можно также отследить в подвижном и неподвижном физическом теле, которое не имеет движущихся заряженных частиц. И принцип Галилея здесь может быть объективно провозглашен: физическое и нейтральное к электричеству тело, которое двигается равномерно и прямолинейно, неотличимо от того, что находится в покое по отношению к Земле. Получается, что нейтральные к электричеству тела и заряженные проявляют себя по-разному в состоянии покоя и в движении. Принцип Галилея не может использоваться в эфире и не может применяться к подвижным и неподвижным заряженным телам.
Несостоятельность принципа для заряженных тел
Теорий и работ о тех полях, что создает движущийся электрический заряд, сегодня накопилось немало. К примеру, Хэвисайд показал, что электрический вектор, образованный зарядом, является радиальным повсюду. Силовые магнитные линии, которые образованы точечным зарядом при движении, являются кругами, а в их центрах находятся линии движения. Другой ученый, Серл, решил задачу о распределении заряда в сфере, пребывающей в движении. Было выяснено, что оно порождает поле, подобное тому, что и движущийся электрический заряд создает, несмотря на то что последний — не сфера, а сжатый сфероид, в котором полярная ось направлена в сторону движения. Позже Мортон показал, что в наэлектризованной сфере, пребывающей в движении, плотность на поверхности меняться не будет, однако силовые линии уже не будут ее покидать под углом в 90 градусов.
Энергия, окружающая сферу, становится больше при ее движении, чем в то время, когда сфера покоится. Это происходит потому, что кроме электрического поля, вокруг движущейся сферы также появляется магнитное поле, как и в случае с зарядом. Поэтому, чтобы выполнить работу, скорость для заряженной сферы потребуется большая, чем для той, что является нейтральной электрически. Вместе с зарядом возрастет и эффективная масса сферы. Авторы уверены, что это происходит из-за самоиндукции конвекционного тока, который движущийся электрический заряд создает с начала движения. Таким образом, принцип Галилея признается несостоятельным для заряженных электричеством тел.
Идеи Эйнштейна и эфир
Тогда становится понятным и то, почему Эйнштейн не выделял место эфиру в СТО. Ведь сам факт признания наличия эфира уже разрушает принцип, заключающийся в эквивалентности инерциальных и независимых систем отсчета. А он, в свою очередь, и является основой СТО.
6.1. Магнитное поле движущегося заряда. Закон Био — Савара — Лапласа
Магнитная стрелка — не только прибор, регистрирующий внешнее магнитное поле, она сама является маленьким магнитом, создающим свое собственное поле. Значит, и виток с током должен создавать свое собственное магнитное поле, подобное полю стрелки. Следовательно, любой электрический ток в проводнике создает вокруг него магнитное поле. В частности, такое поле должен создавать движущийся электрический заряд.
Сейчас мы попробуем угадать, какое магнитное поле порождается зарядом q, движущимся со скоростью v (рис. 6.6). Отправной точкой нам послужит аналогия между электрическими и магнитными явлениями. Вспомним то, что мы уже знаем. Чтобы получить силу, действующую на заряд в электростатическом поле, мы умножаем величину заряда на вектор напряженности поля
Рис. 6.6. Магнитное поле движущегося заряда
Чтобы получить силу Лоренца, действующую со стороны магнитного поля на движущийся заряд, мы тоже производим операцию умножения: векторно умножаем на магнитную индукцию
Применим тот же прием для угадывания магнитного поля движущегося заряда.
Электрическое поле покоящегося точечного заряда равно
Заменим q на вектор , электрическое поле — на магнитное, а операцию обычного умножения — на векторное умножение. Получаем
Мы не поставили здесь знака равенства, так как у нас не все в порядке с размерностью в левой и правой частях уравнения. Из выражения для силы Лоренца следует, что размерность магнитной индукции равна
Размерность же правой части уравнения равна
Чтобы размерности обеих частей совпали, правую часть надо разделить на квадрат какой-то скорости. Скорость частицы у нас уже использована, и остается единственная возможность — фундаментальная физическая постоянная, скорость света с
Мы ввели здесь новую константу , связанную с соотношением
Ее называют магнитной постоянной; численное значение ее оказывается равным
Конечно, выражение (6.2) получено лишь по аналогии и не может рассматриваться, как строго выведенное. Однако посмотрим, к каким следствиям оно приводит.
Возьмем элемент проводника , по которому течет ток I (рис. 6.7). Направление вектора I , называемого элементом тока, совпадает с направлением тока в проводнике, то есть с направлением вектора дрейфовой скорости положительных зарядов.
Рис. 6.7. Магнитное поле, создаваемое элементом тока
Полный заряд носителей тока в этом элементе равен dq = enSdl, где е — заряд носителей, n — их концентрация, a S — поперечное сечение проводника. Подставим этот заряд в выражение (6.2) и получим (рис. 6.8)
Сила тока дается выражением
откуда, учитывая, что
Рис. 6.8. Направление вектора индукции магнитного поля
Вектор проведен от элемента тока к точке наблюдения А. Соответственно, модуль вектора равен
где — угол между направлением данного элемента тока 1820 г. Био (рис. 6.9) и Саваром (рис. 6.10) и сформулированным Лапласом (рис. 6.11)
Рис. 6.9. Ж. Био (1774–1862) — французский физик, геодезист и астроном
Рис. 6.10. Ф. Савар (1791–1841) — французский физик
Рис. 6.11. П. Лаплас (1749–1827) — французский математик, физик и астроном
Дополнительная информация
Закон Био — Савара — Лапласа определяет магнитную индукцию в любой точке магнитного поля, создаваемого постоянным электрическим током, текущим по проводнику любой формы (см. рис. 6.7). Для этого надо проинтегрировать соотношение (6.5) вдоль всего проводника. При этом магнитные индукции от различных элементов тока векторно складываются, то есть используется принцип суперпозиции для магнитных полей.